Kommutative Ringe und Körper

Zusammenfassung

Kommutative Ringe sind die Formalisierung von Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation, wie man sie auf ganzen Zahlen, ihren Restklassen sowie den rationalen oder reellen Zahlen hat. Die beiden letzteren haben eine Zusatzeigenschaft: Nimmt man die Null heraus, so erhält man mit der Multiplikation als Verknüpfung eine abelsche Gruppe. Körper sind nichts anderes als kommutative Ringe mit dieser Zusatzeigenschaft. Wichtig für kommutative Ringe und Körper ist, dass Addition und Multiplikation durch eine Eigenschaft verbunden sind, die man Distributivgesetz nennt, die in der Schule als Rechenregel mit der Bezeichnung „Ausklammern“ bzw. „Ausmultiplizieren“ (je nachdem, in welcher Richtung man die Regel anwendet) geläufig ist. Das Distributivgesetz erklärt, warum additive Konzepte wie die Null auch multiplikative Bedeutung haben: Multiplikation mit 0 liefert immer 0. Analog zum Fall der abelschen Gruppen kann man für Ringe und Körper aus wenigen Grundannahmen Rechenregeln ableiten, die die Basis für die aus der Schule bekannten Rechenregeln über das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation bilden.