Von den rationalen zu den reellen Zahlen

Zusammenfassung

Erinnern wir uns daran, was auf unserem letzten Stück Weg geschehen ist: Ausgehend von der Menge der natürlichen Zahlen, deren Elemente wir addieren und multiplizieren können und dabei als Ergebnis jeweils wieder eine natürliche Zahl bekommen, stellten wir fest, dass Subtraktion und Division gewisse Schwierigkeiten bereiten. Bilden wir nämlich Differenz und Quotient zweier natürlicher Zahlen, so erhalten wir nicht unbedingt wieder eine natürliche Zahl. Dementsprechend erweiterten wir unseren Zahlbereich erst von den natürlichen zu den ganzen Zahlen (damit war das Problem mit der Subtraktion gelöst) und dann von den ganzen zu den rationalen Zahlen (was das Problem mit der Division löst). Schon die alten Griechen haben bemerkt, dass es nicht möglich ist, das Verhältnis der Längen einer Seite und einer Diagonalen eines Quadrats als Bruch zweier ganzer Zahlen zu schreiben. Diese Aussage ist gleichbedeutend damit, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist. Ende des 19. Jahrhunderts ist man den Schritt gegangen, das Diagonalenproblem durch Erweiterung des Zahlbegriffs zu lösen. Das war die Geburtsstunde der reellen Zahlen. Wir präsentieren hier nicht die historisch erste Konstruktion der reellen Zahlen, sondern wählen eine Konstruktion, die einerseits immer noch gewisse Parallelen zu den in den vorherigen Kapiteln vorgestellten Zahlbereichserweiterungen aufweist und andererseits in modifizierter Form in diversen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle spielt: die Beschreibung als Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen.