Störungstheorie

Zusammenfassung

Bei schwachen Wechselwirkungen kann man die Störungstheorie anwenden, etwa zur Berechnung von Streuprozessen. Ein Streuprozess ist der Übergang von einem Anfangszustand, bestehend z. B. aus einem Elektron und einem Proton mit bestimmten Impulsen, zu einem Endzustand.

Wenn der Endzustand wiederum aus einem Elektron und einem Proton besteht, handelt es sich um einen elastischen Streuprozess. Falls die Energie des Elektrons groß genug ist, kann das Proton zu einer Deltaresonanz angeregt werden. Es zerfällt darauf in ein Neutron und ein positiv geladenes Pion. Der Endzustand besteht jetzt aus drei Teilchen – ein inelastischer Streuprozess.

Streuprozesse werden im Hilbert-Raum der quantenmechanischen Zustände durch eine unitäre Matrix beschrieben, durch die Streumatrix („S-Matrix“). Diese Matrix zeigt den Übergang vom Anfangszustand zum Endzustand:

$$ \begin{aligned} & \left| E \right\rangle =S\left| A \right\rangle \\ & \left| \phi \left( t=+\infty \right) \right\rangle =S\left| \phi \left( t=-\infty \right) \right\rangle . \end{aligned} $$

Eine genaue Berechnung der S-Matrix ist nicht möglich, jedoch kann man sie in vielen Fällen approximativ mit der Störungstheorie herleiten. Hierzu benutzt man das Wechselwirkungsbild – der Hamilton-Operator wird aufgespalten in den Hamilton-Operator der freien Teilchen (ohne Wechselwirkung) und einen Operator, der die Wechselwirkung beschreibt:

$$ H={{H}_{0}}+{{H}_{\text{W}}}.$$