Freie skalare Felder

Zusammenfassung

Ein quantisiertes skalares Feld beschreibt Teilchen ohne Spin. Die Teilchen eines reellen skalaren Feldes sind neutrale Teilchen – geladene skalare Teilchen werden durch komplexe skalare Felder beschrieben. Die Lagrange-Dichte eines reellen massiven freien Feldes ist:

$$ L=\frac{1}{2}{{\dot{\phi }}^{2}} -\frac{1}{2}{{\left( \vec{\nabla }\phi \right)}^{2}} -\frac{1}{2}{{m}^{2}}{{\phi }^{2}} =\frac{1}{2}{{\partial }_{\mu }}\phi \cdot {{\partial }^{\mu }}\phi -\frac{1}{2}{{m}^{2}}{{\phi }^{2}}.$$

Diese Lagrange-Dichte ist analog zur Lagrange-Funktion des eindimensionalen harmonischen Oszillators in der nichtrelativistischen Quantenmechanik:

$$ L=\frac{m}{2}\left(\dot{q}\right)^2 -\frac{1}{2}k \cdot {{q}^{2}}.$$

Bei einem Feld ist die Wirkung das Integral der Lagrange-Dichte über ein endliches Gebiet G der Raum-Zeit:

$$ S=\frac{1}{2}\int\limits_{G}{{{\mathrm{d}}^{4}}x \left( {{\partial }_{\mu }}\phi \cdot {{\partial }^{\mu }}\phi -{{m}^{2}}{{\phi }^{2}} \right)}.$$

Hieraus folgt die Feldgleichung, die Klein-Gordon-Gleichung:

$$ \begin{aligned} \left( \frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}-{{{\vec{\nabla }}}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\phi \left( t,\vec{x} \right)&=0 \\ ({{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}+{{m}^{2}})\phi (x)&=0 .\end{aligned} $$

Aus dieser Gleichung folgt eine Relation zwischen der Energie, dem Impuls und der Masse des skalaren Teilchens:

$$ {{E}^{2}}={{p}^{2}}+{{m}^{2}}.$$

Damit erhalten wir für die Energie:

$$ E=\pm \sqrt{{{p}^{2}}+{{m}^{2}}}.$$