Quantentheorie

Zusammenfassung

In der Quantenmechanik wird ein physikalisches System durch eine komplexe Wellenfunktion beschrieben. Besteht das System nur aus einem Teilchen, beschreibt das absolute Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden.

Die Wellenfunktion ist ein Zustandsvektor in einem unendlich-dimensionalen Hilbert-Raum. Dieser besitzt u. a. folgende Eigenschaften:

• 1) Zwei Zustandsvektoren sind gegeben durch zwei komplexe Funktionen Φund Ψ. Die Summe $(\alpha \cdot \Phi +\beta \cdot \Psi )$ ist ebenfalls ein Zustandsvektor (Linearitätsbedingung).

• 2) Für jedes Paar von Zustandsvektoren kann man eine komplexe Zahl $(\Phi, \Psi)$ angeben, die das Skalarprodukt definiert:

  $$ \begin{aligned} (\Phi, \Psi)&={{(\Psi, \Phi)}^{\ast}} \\ (\Phi, \Phi)&\ge 0. \end{aligned} $$

• 3) Ein Einheitsvektor ist ein Zustandsvektor mit dem Betrag 1: $(\Phi, \Phi)=1$.

Ein Beispiel für einen Hilbert-Raum ist die Gesamtheit aller komplexen Funktionen $\Phi (x)$. Das Skalarprodukt von zwei Funktionen ist:

$$ (\Psi, \Phi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty } \left(\Psi^{\ast}\Phi\right)\,\mathrm{d} x.$$

Ein linearer Operator im Hilbert-Raum ist die lineare Transformation $\Phi \Rightarrow A\Phi$. Wenn der Hilbert-Raum nur endlich viele Dimensionen besitzt, ist eine solche Transformation durch eine Matrix gegeben.

Der zum Operator A adjungierte Operator ist definiert durch die Gleichung:

$$ \left( \Phi, {{A}^{+}}\Psi \right) =\left( A\Phi ,\Psi \right) ={{\left( \Psi ,A\Phi \right)}^{\ast}}.$$