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Körper

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Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie

Part of the book series: Springer-Lehrbuch ((SLB))

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Zusammenfassung

Nach den Grundlagen der Körpertheorie, wie algebraischen und transzendenten Körpererweiterungen, wird in diesem Kapitel die Existenz und Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers behandelt, was wiederum auf natürliche Weise zu dem Begriff der normalen Körpererweiterung führt. Wir klassifizieren alle endlichen Körper, und zeigen dann mit Hilfe der Charakterisierung von zyklischen Gruppen aus dem vorhergehenden Kapitel, dass die Einheitengruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist. Darauf aufbauend beweisen wir den Satz vom primitiven Element, konstruieren den algebraischen Abschluss und zeigen den Hauptsatz der Galoistheorie für Erweiterungen zwischen endlichen Körpern. Danach folgt eine kompakte Darstellung der allgemeinen Galoistheorie: Ausgehend vom Eindeutigkeitsbeweis für den Zerfällungskörper führen wir den Begriff der separablen Erweiterungen ein, zeigen den Satz vom primitiven Element und den Hauptsatz der Galoistheorie.

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Notes

  1. 1.

    Dies zeigt man mit Methoden der Analysis. Für einen der vielen Beweise siehe etwa [31].

  2. 2.

    Für einen Existenzbeweis siehe z. B. [4, Abschn. 3.4, Thm. 4].

  3. 3.

    Als weiterführende Literatur zum Beweis des Fundamentalsatzes siehe z. B. [33, Abschn. 9.1].

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  1. Technische Universität Kaiserslaute, Kaiserslautern, Germany

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  1. Janko Boehm
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Boehm, J. (2016). Körper. In: Grundlagen der Algebra und Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-45229-5_7

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