Zusammenfassung
Die Differenzialrechnung, dessen Entwicklung auf G. W. Leibniz und I. Newton zurückgeht, ist zentraler Gegenstand der Schulmathematik in der Oberstufe. Mit ihr lässt sich die Frage nach der Steigung eines Funktionsgraphen an einem beliebigen Punkt beantworten, wodurch vielfältige Problemstellungen (Stichwort: Kurvendiskussion) gelöst werden können. Darüberhinaus sind fundamentale Kenntnisse der Differenzialrechnung auch in vielen Gebieten abseits der Mathematik (z. B.: Physik, Technik und Ingenieurswissenschaften, Wirtschaftswissenschaften) von essentieller Bedeutung.
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Notes
- 1.
Ein Grenzwert \(a\in\mathbb{R}(a\neq\pm\infty)\) heißt eigentlicher Grenzwert.
- 2.
Michel Rolle (1652–1719): französischer Mathematiker, der in erster Linie auf dem Gebiet der Algebra tätig war. Durch seinen nach ihm benannten Satz in der Analysis ist der Name auch in der Schulmathematik präsent.
- 3.
Marquis de L’Hospital (1661–1704): französischer Mathematiker, der die nach ihm benannten Regeln 1694 veröffentlichte, deren Entdeckung jedoch auf Johann Bernoulli zurückgeht.
- 4.
Hier ist jedoch zu beachten, dass nur an isolierten Stellen die Ableitung verschwinden darf, weil sonst die strenge Monotonie verletzt wird.
- 5.
Die Bestimmung von Monotonie- und Krümmungsintervallen beschränkt sich auf stetige Funktionen. Lediglich Nicht-Differenzierbarkeitsstellen, z. B. bei Arkusfunktionen, spielen in der Ausbildungsrichtung Technik der Jahrgangsstufe 13 eine Rolle.
- 6.
In der Ausbildungsrichtung Nichttechnik der Jahrgangsstufe 12 wird man lediglich mit Polynomen konfrontiert. In der Ausbildungsrichtung Technik (Nichttechnik) stehen in Jahrgangsstufe 12 (13) alle bekannten Funktionstypen auf dem Lehrplan, mit Ausnahme der Arkusfunktionen, die in der 13. Jahrgangsstufe (Technik) behandelt werden.
- 7.
Anstatt durch logische Überlegung die Vorzeichen für \(f^{\prime}\) zu ermitteln, kann man auch einen beliebigen „Testwert“ aus dem zu untersuchenden Intervall in die Ableitung \(f^{\prime}\) einsetzen.
- 8.
Bei anwendungsorientierten Aufgaben ist es üblich, im Verlauf der Rechnung auf Einheiten zu verzichten.
- 9.
Neben dem Newton-Verfahren sind auch das Intervallhalbierungsverfahren (Bisektionsverfahren) oder das Sekantenverfahren („Regula falsi“) beliebte Methoden zur numerischen Nullstellenbestimmung [3].
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Schneider, W. (2015). Differenzialrechnung. In: Mathematik für die berufliche Oberschule. Springer-Lehrbuch. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-45227-1_6
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-45227-1
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