Ein Satz von Pólya über Polynome

Zusammenfassung

Unter den vielen Beiträgen von George Pólya zur Analysis war das folgende Resultat immer der Favorit von Paul Erdős — sowohl wegen der überraschenden Aussage als auch wegen der Schönheit des Beweises. Sei

$$ f(z) = z^{n} + b_{n-1}z^{n-1} + ... + b_{0} $$

ein komplexes Polynom vom Grad n ≥ 1 mit höchstem Koeffizienten 1. Zu f betrachten wir die Menge

$$ \mathcal{C} := \{z \in \mathbb{C}: |f(z)| \leq 2 \} $$

, also die Menge der Punkte, die von f in die Kreisscheibe vom Radius 2 um den Ursprung in der komplexen Ebene abgebildet werden. Beispielsweise ist für n = 1 die Menge $\mathcal{C}$ eine Kreisscheibe vom Durchmesser 4.