Simplexe, die einander berühren

Zusammenfassung

Wie viele d-dimensionale Simplexe kann man so im ℝ^d anordnen, dass sie einander paarweise berühren, also so, dass der Schnitt von je zweien immer genau (d − 1)-dimensional ist?

Das ist eine sehr alte und naheliegende Frage. Wir werden die Antwort des Problems mit ƒ(d) bezeichnen und notieren ƒ(1) = 2, ganz trivial. Für d = 2 zeigt die Anordnung von vier Dreiecken im Rand, dass ƒ(2) ≥ 4 gilt. Es gibt keine entsprechende Anordnung von fünf Dreiecken, weil dafür die Konstruktion des dualen Graphen, die in unserem Beispiel mit vier Dreiecken eine ebene Zeichnung des K ₄ gibt, eine ebene Einbettung des K ₅ liefern würde, was nicht möglich ist (siehe Seite 95). Also gilt

ƒ(2) = 4.