Das Kontinuum

Zusammenfassung

Mit dem Wort „Kontinuum“ bezeichnet man jede Menge, welche dieselbe Mächtigkeit wie die Menge ℝ der reellen Zahlen besitzt. Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge suggeriert eine Vorstellung von der Größe einer Menge, die genaue Definition werden wir weiter unten geben. Aber hier sei bereits bemerkt, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, die Größe einer Menge zu beschreiben. Wie wir sehen werden, besitzt das Kontinuum deutlich mehr Elemente als etwa die Menge ℚ der rationalen Zahlen. Gewissermaßen kann man ℚ als lückenhaft bezeichnen, liegen doch zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen unendlich viele Irrationalzahlen. Insofern ist eine auf die rationalen Zahlen beschränkte Analysis problematisch, und die Einführung der reellen Zahlen als „Lückenfüller“ bzw. Vervollständigung der rationalen Zahlen eine wundervolle Idee. Um die Darstellung einfach zu halten, werden wir einige Begriffe (wie etwa der des Intervalls) verwenden, ohne diese exakt zu definieren.