Das Ramsey-Modell

Zusammenfassung

Das 3. Kapitel behandelt mit dem Ramsey-Modell das zentrale in der modernen dynamischen Makroökonomik verwendete Modell. Nach der Erläuterung der Modellannahmen, werden zunächst die Gleichgewichtsbedingungen hergeleitet. Danach wird gezeigt, wie sich die Dynamik des Ramsey-Modells analysieren lässt und der Sattelpunktpfad als Lösung des Modells hergeleitet. Schließlich werden einige der dynamischen Eigenschaften des Ramsey-Modells eingehender diskutiert. Der Anhang des Kapitels widmet sich einer ausführlichen Darstellung der Lösung einer linearisierten Form des des Ramsey-Modells.

Appendices

Anhang: Formale Analyse der Modelldynamik

3.1.1 A.1 Transformation in ein lineares Modell

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie die dynamischen Eigenschaften des nichtlinearen Differenzengleichungssystems (3.4a), (3.4b) mit Hilfe eines Linearisierungsverfahrens zumindest lokal – in der Umgebung des stationären Punktes S=(c ^∗,k ^∗) – formal analysiert werden kann. Das Differenzengleichungssystem (3.4a), (3.4b) kann in der Umgebung von S durch Taylorreihen linear approximiert werden. Es resultiert dann ein lineares Differenzengleichungssystem, welches mit den üblichen Verfahren analysiert werden kann.⁹

Werden die Gl. (3.4a) und (3.4b) in der Umgebung von S=(c ^∗,k ^∗) jeweils durch eine Taylorreihenentwicklung approximiert und wird diese Entwicklung nach dem linearen Glied abgebrochen, so folgt:

$$\begin{aligned} u'\bigl(c^*\bigr) + u'' \bigl(c^*\bigr) \bigl[c_t-c^*\bigr] &= \beta u' \bigl(c^*\bigr)\bigl[f'\bigl(k^*\bigr)+1-\delta\bigr] \\ &{}\quad + \beta u''\bigl(c^*\bigr)\bigl[f'\bigl(k^* \bigr)+1-\delta\bigr] \bigl[c_{t+1}-c^*\bigr] \\ &{}\quad+ \beta u'\bigl(c^*\bigr) f'' \bigl(k^*\bigr) \bigl[k_{t+1}-k^*\bigr] \end{aligned}$$

(3.8a)

$$\begin{aligned} f\bigl(k^*\bigr) + f'\bigl(k^*\bigr) \bigl[k_t-k^* \bigr] &= c^* + k^*-(1-\delta) k^* +\bigl[c_t-c^*\bigr] \\ &{}\quad+\bigl[k_{t+1}-k^*\bigr] -(1-\delta) \bigl[k_t-k^* \bigr] \end{aligned}$$

(3.8b)

Zur Vereinfachung kann bei der Linearisierung eine Variablentransformation dergestalt durchgeführt werden, dass nur noch Abweichungen der entsprechenden Variablen vom stationären Punkt S betrachtet werden. Es bezeichnen $\hat{c}$ und $\hat{k}$ im Weiteren diese Abweichungen, das heißt $\hat{c}_{t}=c_{t}-c^{*}$ und $\hat{k}_{t}=k_{t}-k^{*}$. Wird zudem berücksichtigt, dass im stationären Punkt u′(c ^∗)=βu′(c ^∗)[f′(k ^∗)+1−δ] sowie f(k ^∗)=c ^∗−δk ^∗ gilt, resultiert:¹⁰

$$\begin{aligned} u''_* \hat{c}_t &= \beta u''_*\bigl[f'_*+(1-\delta)\bigr] \hat{c}_{t+1} + \beta u'_* f''_* \hat{k}_{t+1} \end{aligned}$$

(3.9a)

$$\begin{aligned} \hat{k}_{t+1} &= \bigl[f'_*+(1-\delta)\bigr] \hat{k}_t - \hat{c}_t, \end{aligned}$$

(3.9b)

Das Gleichungssystem (3.9a), (3.9b) kann noch umgeformt werden, indem (3.9a) in (3.9b) eingesetzt und beachtet wird, dass im Punkt S $f'=\frac{1}{\beta}-(1-\delta)$ gilt. Es folgt dann:

$$\begin{aligned} \hat{c}_{t+1} &= \biggl(1+ \beta u'_* \frac{f''_*}{u''_*} \biggr) \hat{c}_{t} - u'_* \frac{f''_*}{u''_*} \hat{k}_{t} \end{aligned}$$

(3.10a)

$$\begin{aligned} \hat{k}_{t+1} &= - \hat{c}_t + \frac{1}{\beta} \hat{k}_t, \end{aligned}$$

(3.10b)

Mit Hilfe des Vektors $x'_{t}=(\hat{c}_{t},\hat{k}_{t})$ und der Koeffizientenmatrix B:

$$B= \begin{pmatrix} 1+\beta u'_* \frac{f''_*}{u''_*} & - u'_* \frac{f''_*}{u''_*}\\ -1 & \frac{1}{\beta} \end{pmatrix} $$

kann das System (3.10a), (3.10b) in matrizieller Form notiert werden:

$$ x_{t+1}=B x_t $$

(3.11)

3.1.2 A.2 Lösungseigenschaften eines zweidimensionalen Systems linearer Differenzengleichungen

Wir betrachten zunächst ein allgemeines Differenzengleichungssystem der Form (3.11), ohne die Struktur, die das Ramsey-Modell der Koeffizientenmatrix B auferlegt, zu berücksichtigen. Das System lautet:

$$ x_{t+1}=B x_t \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x_{1,t+1} \\ x_{2,t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1,t} \\ x_{2,t} \end{pmatrix} , $$

(3.12)

wobei x _t =(x _1,t ,x _2,t ) gilt.¹¹

Sofern $B\not=I_{2}$ ist x ^∗=(0,0) der einzige stationäre Punkt (auch als stationäres Gleichgewicht oder Fixpunkt bezeichnet) dieses Differenzengleichungssystems. Im Folgenden interessieren die Stabilitätseigenschaften dieses stationären Punktes x ^∗, wobei Stabilität dann vorliegt, wenn für alle für alle x ₀ gilt, dass lim _t→∞ x _t =x ^∗.

Die allgemeine Lösung des solchen linearen Differenzengleichungssystems (3.12) lautet:¹²

$$\begin{aligned} x_{1,t} &= A_1\nu_1 \mu_1^{t} + A_2 \nu_2 \mu_2^{t} \end{aligned}$$

(3.13a)

$$\begin{aligned} x_{2,t} &= A_1 \mu_1^{t} + A_2 \mu_2^{t} \end{aligned}$$

(3.13b)

Hierbei sind μ ₁ und μ ₂ sind die Eigenwerte der Matrix B bzw. die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von B. Aus (3.12) ergibt sich das charakteristische Polynom ϕ(μ) von B als:

$$\begin{aligned} \phi(\mu) &= \mu^2 - (b_{11}+b_{22}) \mu +(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}) \\ &=\mu^2 - \mu \operatorname{tr}B + \det B \end{aligned}$$

(3.14)

Des Weiteren sind A ₁ und A ₂ aus den Anfangsbedingungen zu ermittelnde Konstanten und die Parameter ν ₁ und ν ₂ werden folgendermaßen bestimmt:

$$\nu_i = - \frac{b_{22}-\mu_i}{b_{21}}, \quad i=1,2 $$

Wird lediglich der Fall betrachtet, in dem die charakteristischen Wurzeln μ ₁ und μ ₂ reellwertig sind, lassen sich mit Hilfe der allgemeinen Lösung die folgenden Schlussfolgerungen ziehen:¹³

• (i) Gilt |μ ₁|<1 und |μ ₂|<1, so ergibt sich unabhängig von A ₁ und A ₂ sowie ν ₁ und ν ₂, dass lim _t→∞ x _1,t =0 und lim _t→∞ x _2,t =0. Die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im langfristigen Gleichgewicht werden folglich im Zeitablauf geringer – das langfristige Gleichgewicht x ^∗ ist (lokal) stabil.

• (ii) Gilt |μ ₁|>1 und |μ ₂|>1, so ergibt sich für $A_{1}\not=0$ und $A_{2}\not=0$ – sofern also eine anfängliche Abweichung vom langfristigen Gleichgewicht vorliegt –, dass lim _t→∞ x _1,t =∞ und lim _t→∞ x _2,t =∞. Die Abweichungen der Variablen von ihren Werten im langfristigen Gleichgewicht werden folglich im Zeitablauf immer größer – das langfristige Gleichgewicht x ^∗ ist instabil.

• (iii) Gilt |μ ₁|<1 und |μ ₂|>1 bzw. |μ ₁|>1 und |μ ₂|<1, so ist das langfristige Gleichgewicht nur dann stabil, wenn die in der Lösung (3.13a), (3.13b) zu der Wurzel μ _i , deren Betrag größer als Eins ist, gehörende Konstante A _i gleich Null ist.

Zum Überprüfen, ob der stationäre Punkt eines Differenzengleichungssystems wie (3.11) stabil ist, kann unter anderem das Schur-Kriterium herangezogen werden.¹⁴

Theorem 3.1

(Schur-Kriterium)

Die Wurzeln des Polynoms μ ²+a ₁ μ+a ₀ sind dann und nur dann betragsmäßig kleiner als Eins, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$$1-a_0>0,\qquad1+a_1+a_0>0,\qquad 1-a_1+a_0>0 $$

Im hier vorliegenden Fall des Differenzengleichungssystems 2. Ordnung gilt nun $a_{1} = -\operatorname{tr}(B)$ und a ₀=det(B).¹⁵ Sofern $\det(B)\not=0$ gilt nun für die Matrix B:

$$\begin{aligned} \begin{array}{rl@{\qquad }rl} \mu_1 \mu_2 &=\det(B) &\det \bigl(B^{-1}\bigr)&=\frac{1}{\mu_1 \mu_2}=\frac{1}{\det(B)} \\ \mu_1+\mu_2 &=\operatorname{tr}(B) &\operatorname{tr}\bigl(B^{-1} \bigr)&=\frac{1}{\mu_1}+\frac{1}{\mu_2}=\frac{\operatorname{tr}(B)}{\det(B)} \end{array} \end{aligned}$$

Damit kann über den Fixpunkt x ^∗ Folgendes ausgesagt werden:

• (i) Der Fixpunkt x ^∗=(0,0) ist stabil, wenn:

  $$\begin{aligned} 1-\det(B)& >0 \\ 1-\operatorname{tr}(B )+\det(B ) & >0 \\ 1+\operatorname{tr}(B )+\det(B ) & >0 \end{aligned}$$

• (ii) Der Fixpunkt x ^∗=(0,0) ist instabil, wenn:

  $$\begin{aligned} 1-\det\bigl(B^{-1}\bigr)&=1-\frac{1}{\det(B)} >0 \\ 1-\operatorname{tr}\bigl(B^{-1}\bigr)+\det\bigl(B^{-1}\bigr) &= 1- \frac{\operatorname{tr}(B)}{\det(B)} + \frac{1}{\det(B)} >0 \\ 1+\operatorname{tr}\bigl(B^{-1}\bigr)+\det\bigl(B^{-1}\bigr) &= 1+ \frac{\operatorname{tr}(B)}{\det(B)} + \frac{1}{\det(B)} >0 \end{aligned}$$

3.1.3 A.3 Lösung linearer, homogener Differenzengleichungssysteme

Betrachtet wird wieder das lineare Differenzengleichungssystem (3.12):

$$ x_{t+1}=B x_t $$

(3.15)

wobei x _t =(x _1,t ,x _2,t ) ein zweidimensionaler Vektor und B eine 2×2-Matrix ist. Es bezeichnet im Weiteren Q die Matrix der Eigenvektoren von B und M eine Matrix, deren Hauptdiagonalelemente die Eigenwerte bzw. charakteristischen Wurzeln μ ₁, μ ₂ von B sind, wobei unterstellt wird, dass diese beiden Eigenwerte reell und disjunkt sind. Dann gilt:

$$Q^{-1} B Q = M = \begin{pmatrix} \mu_1 & 0 \\ 0 & \mu_2 \end{pmatrix} $$

Es sei nun z _t =(z _1,t ,z _2,t ) ein Vektor, der aus x _t durch eine lineare Transformation mit Q ⁻¹ hervorgeht, so dass z _t =Q ⁻¹ x _t . Multiplikation des ursprünglichen Systems (3.15) von links mit Q ⁻¹ ergibt dann ein System von Differenzengleichungen 1. Ordnung in z _t :

$$z_{t+1}= Q^{-1} x_{t+1} = Q^{-1}BQ Q^{-1}x_t = Mz_t $$

bzw. in ausführlicher Notation:

$$ \begin{pmatrix} z_{1,t+1} \\ z_{2,t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mu_1 & 0 \\ 0 & \mu_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_{1,t} \\ z_{2,t} \end{pmatrix} $$

(3.16)

Die Lösungen dieser beiden Gleichungen lauten $z_{i,t}=C_{i} \mu _{i}^{t}$ für i=1,2, wobei C ₁ und C ₂ aus Anfangsbedingungen zu ermittelnde Konstanten sind. Diese Lösungen können dann folgendermaßen zusammengefasst werden:

$$z_t = \begin{pmatrix} C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_{1}^t \\ \mu_{2}^t \end{pmatrix} $$

Multiplikation von links mit Q ergibt dann die Lösung des ursprünglichen Systems:

$$x_t =Q z_t = Q \begin{pmatrix} C_1 & 0 \\ 0 & C_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_{1}^t \\ \mu_{2}^t \end{pmatrix} $$

Mit $Q= \bigl({\scriptsize\begin{matrix}q_{11} & q_{12} \cr q_{21} & q_{22}\end{matrix}}\bigr)$ ergibt sich demnach in ausführlicher Form die Lösung:

$$\begin{aligned} x_{1,t}&= q_{11} C_1 \mu_1^t + q_{12} C_2 \mu_2^t \end{aligned}$$

(3.17a)

$$\begin{aligned} x_{2,t}&= q_{21} C_1 \mu_1^t + q_{22} C_2 \mu_2^t \end{aligned}$$

(3.17b)

Nun gilt Q ⁻¹ BQ=M woraus nach Multiplikation mit Q von links folgt, dass BQ=QM. In ausführlicher Form notiert bedeutet dies:

$$ \begin{pmatrix} b_{11} q_{11} + b_{12} q_{21} & b_{11} q_{12} + b_{12} q_{22} \\ b_{21} q_{11} + b_{22} q_{21} & b_{21} q_{12} + b_{22} q_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_{11} \mu_1 & q_{12} \mu_2 \\ q_{21} \mu_1 & q_{22} \mu_2 \end{pmatrix} $$

Somit gilt $q_{11}=q_{21} \frac{\mu_{1}-b_{22}}{b_{21}}$ sowie $q_{12}=q_{22} \frac{\mu_{2}-b_{22}}{b_{21}}$. Einsetzen in (3.17a), (3.17b) ergibt:

$$\begin{aligned} x_{1,t}&= q_{21} \frac{\mu_1-b_{22}}{b_{21}} C_1 \mu_1^t + q_{22} \frac{\mu_2-b_{22}}{b_{21}} C_2 \mu_2^t \end{aligned}$$

(3.18a)

$$\begin{aligned} x_{2,t}&= q_{21} C_1 \mu_1^t + q_{22} C_2 \mu_2^t \end{aligned}$$

(3.18b)

Werden nun die durch Anfangswerte zu bestimmenden Konstanten A ₁=q ₂₁ C ₁ und A ₂=q ₂₂ C ₂ eingeführt, sowie die Koeffizienten $\nu_{1}=\frac{\mu_{1}-b_{22}}{b_{21}}$ und $\nu_{2}=\frac{\mu _{2}-b_{22}}{b_{21}}$ definiert, ergibt sich schließlich als allgemeine Lösung:

$$\begin{aligned} x_{1,t}&= \nu_1 A_1 \mu_1^t + \nu_2 A_2 \mu_2^t \end{aligned}$$

(3.19a)

$$\begin{aligned} x_{2,t}&= A_1 \mu_1^t + A_2 \mu_2^t \end{aligned}$$

(3.19b)

3.1.4 A.4 Dynamische Eigenschaften des Ramsey-Modells

Kehren wir nun zu dem aus der Linearisierung des Ramsey-Modells hervorgegangenen System (3.10a), (3.10b) zurück. Das charakteristische Polynom ϕ(μ) der Koeffizientenmatrix B lautet in diesem Fall:

$$\begin{aligned} \phi(\mu)&=\mu^2 - \mu \operatorname{tr}B + \det B \\ &=\mu^2 - \mu \biggl(1+\beta u'_* \frac{f''_*}{u''_*} + \frac{1}{\beta} \biggr) + \frac{1}{\beta} \end{aligned}$$

Die charakteristischen Wurzeln μ ₁ und μ ₂ sind demnach die Lösungen der quadratischen Gleichung:

$$\begin{aligned} \mu^2 - \mu \biggl(1+\beta u'_* \frac{f''_*}{u''_*} + \frac{1}{\beta} \biggr) &= -\frac{1}{\beta} \end{aligned}$$

(3.20)

Die linke Seite von (3.20) ist eine quadratische Gleichung in μ mit den Nullstellen μ=0 und $\mu=1+\beta u'_{*} \frac {f''_{*}}{u''_{*}} + \frac{1}{\beta}$, wie sie in Abb. 3.8 dargestellt ist. Der Abbildung ist daher zu entnehmen, dass die beiden Eigenwerte μ ₁, μ ₂ der Matrix B reell und positiv sind. Des Weiteren gilt $\mu_{2}>\frac{1}{\beta}$, so dass wegen $\mu_{1} \mu_{2} = \det B = \frac{1}{\beta}$ gelten muss, dass μ ₁<1.

Abb. 3.8

Wurzeln des charakteristischen Polynoms

Werden diese Werte in die oben angegebene allgemeine Lösung (3.13a), (3.13b) des Differenzengleichungssystems eingesetzt, resultieren für $\hat{c}_{t}$ und $\hat{k}_{t}$ mit $A_{2}\not=0$ immer divergierende Zeitpfade, das heißt die Abweichungen der ursprünglichen Variablen vom stationären Punkt S werden immer größer. Nur mit A ₂=0 entfallen die Terme, die μ ₂ enthalten, und nur dann können zum Punkt S konvergierende Zeitpfade für die ursprünglichen Variablen resultieren und wie bereits oben allgemein gezeigt wurde ist nur in diesem Fall die Transversalitätsbedingung erfüllt. Nun werden die Konstanten A ₁ und A ₂ durch Anfangswerte $\hat {c}_{0}$ und $\hat{k}_{0}$ der Variablen bestimmt. Bei gegebenem Anfangswert $\hat{k}_{0}$ folgt:

$$A_1=\hat{k}_0-A_2 $$

Mit $\hat{c}_{0}$ als weiterem Anfangswert resultiert dann wegen ν ₁−ν ₂=μ ₂−μ ₁:

$$A_2 = \frac{\hat{c}_0-\nu_1 \hat{k}_0}{\mu_2-\mu_1} $$

Daraus folgt, dass die Konstante A ₂ dann und nur dann gleich Null ist, wenn ein ganz bestimmter Anfangswert für den Konsum vorliegt, welcher wiederum vom Anfangswert $\hat{k}_{0}$ abhängt. Nur wenn $\hat{c}_{0}=\nu_{1} \hat{k}_{0}$ ergibt sich A ₂=0 und es resultieren zum stationären Punkt S konvergierende Zeitpfade für die Variablen. Die Lösung des linearen Differenzengleichungssystems (3.10a), (3.10b) lautet dann:

$$\begin{aligned} \hat{c}_t &= \mu^{t}_1 \hat{c}_0 = \nu_1 \mu^{t}_1 \hat{k}_0 = \nu_1 \hat{k}_t \end{aligned}$$

(3.21)

$$\begin{aligned} \hat{k}_t &= \mu^{t}_1 \hat{k}_0=\mu_1 \hat{k}_{t-1} \end{aligned}$$

(3.22)

In allen anderen Fällen gilt $\hat{c}_{0}\gtrless\nu_{1} \hat{k}_{0}$ und somit $A_{2} \not= 0$, so dass sich die Zeitpfade der Variablen vom stationären Punkt S entfernen.

3.1.5 A.5 Die grafische Darstellung der Lösung des linearisierten Systems

Die Eigenschaften des Richtungsfeldes für das vorliegende, linearisierte Differenzengleichungssystem können beschrieben werden, indem das System (3.11) wie in Abschn. A.3 durch eine lineare Transformation der Variablen in ein System unverbundener Differenzengleichungen transformiert wird. Ausgangspunkt ist daher das System unverbundener Differenzengleichungen (3.16):

$$ \begin{pmatrix}z_{1,t+1} \\ z_{2,t+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mu_1 & 0 \\ 0 & \mu_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}z_{1,t} \\ z_{2,t} \end{pmatrix} $$

(3.16)

Das Richtungsfeld für das System (3.16) kann recht einfach ermittelt werden und muss wegen μ ₂>1 und μ ₁<1 wie das in Abb. 3.9 dargestellte aussehen.¹⁶ Der Abbildung ist zu entnehmen, dass aus jeder Richtung nur eine Trajektorie, diejenige für die z _2,t =0 gilt, gegen den stationären Punkt – hier den Ursprung des Koordinatensystems – konvergiert. Da der stationäre Punkt ein Sattelpunkt ist, wird diese Trajektorie auch als Sattelpunkttrajektorie bezeichnet. Die Bezeichnung dieses Fixpunktes als Sattelpunkt dürfte nun auch einleuchtend sein: Man könnte versuchen, sich das in Abb. 3.9 dargestellte Richtungsfeld im dreidimensionalen Raum vorzustellen. Das entstehende Gebilde müsste in westlicher und östlicher Richtung jeweils ansteigen und in südlicher bzw. nördlicher Richtung abfallen, so dass ein Gebirge mit der Form eines Sattels entsteht. Die Sattelpunkttrajektorie ist der einzige Pfad in diesem Gebirge entlang dem es möglich ist, dass eine der Schwerkraft unterliegende Kugel, den Sattelpunkt im Ursprung erreicht.

Abb. 3.9

Richtungsfeld bei Sattelpunktdynamik

Ein der Abb. 3.9 entsprechendes Richtungsfeld kann selbstverständlich auch für die nichttransformierten Variablen $\hat{c}$ und $\hat{k}$ konstruiert werden. Es ergibt sich qualitativ ein identisches Bild, allerdings wird die Sattelpunkttrajektorie in diesem Fall nicht mit einer der beiden Achsen übereinstimmen. Aus (3.10a), (3.10b) bzw. (3.11) folgt:

$$\Delta\hat{c}_{t+1} = \beta u'_*\frac{f''_*}{u''_*} \hat{c}_t - u'_*\frac{f''_*}{u''_*} \hat{k}_t , $$

so dass $\Delta\hat{c}_{t+1} \{\gtreqless\} 0$, wenn $\hat{c}_{t} \{ \gtreqless\}\frac{1}{\beta} \hat{k}_{t}$ und:

$$\Delta\hat{k}_{t+1} = -\hat{c}_t + \biggl( \frac{1}{\beta}-1 \biggr) \hat{k}_t, $$

so dass $\Delta\hat{k}_{t+1} \{\gtreqless\} 0$, wenn $\hat{c}_{t} \{ \lesseqgtr\} (\frac{1}{\beta}-1 ) \hat{k}_{t}$.

Es resultiert dann das in Abb. 3.10 dargestellte Richtungsfeld für $\hat{c}$ und $\hat{k}$. Auch wenn die Steigung der Sattelpunkttrajektorie ohne weiteres nicht eindeutig bestimmt werden kann – dazu müsste die Matrix Q der Eigenvektoren ermittelt werden –, ist klar, dass diese erstens eine Gerade ist und zweitens, wie in der Abbildung eingezeichnet, zwischen den beiden Isoklinen im ersten und dritten Quadranten verlaufen muss. Für das linearisierte Differenzengleichungssystem ist damit der Verlauf der Trajektorien bekannt. Ein qualitativ ähnliches Bild ergibt sich für das ursprüngliche, nichtlineare System, für das indessen eine analytische Lösung, wie sie hier erfolgte, im Allgemeinen nicht möglich ist.

Abb. 3.10

Richtungsfeld des linearisierten Differenzengleichungssystems

Übungsaufgaben

3.1

Im Ramsey-Modell muss eine Gleichgewichtsbedingung für den Kreditmarkt – die sogenannte Transversalitätsbedingung – erfüllt sein. Erläutern Sie diese Bedingung.

3.2

Formulieren Sie die Bellman-Gleichung als deren Lösung sich die Gleichgewichtsallokation des Ramsey-Modells ergibt.

3.3

Skizzieren und erläutern Sie die Zeitpfade für den Konsum, die Kapitalintensität und den Output, die sich ergeben, wenn es im Ramsey-Modell ausgehend vom Steady-State zu einem transitorischen Produktivitätsschock kommt.

3.4

Skizzieren und erläutern Sie die Zeitpfade für den Konsum, die Kapitalintensität und den Output, die sich ergeben, wenn es im Ramsey-Modell ausgehend vom Steady-State zu einem permanenten Produktivitätsschock kommt.