Grenzwerte und Stetigkeit

Zusammenfassung

Der Begriff des Grenzwerts spielt nicht nur bei Folgen eine Rolle, auch eine Funktion $f:D\to W$ hat Grenzwerte an den Stellen $a\in D$ bzw. an den Randpunkten a von D. Wir bilden diese Grenzwerte mit Hilfe von Folgen und erhalten damit eine Vorstellung über das Verhalten der Funktion $f:D\to W$ für x gegen a.

Die Stetigkeit einer Funktion f lässt sich wiederum mit dem Begriff des Grenzwerts formulieren. Die Vorstellung einer stetigen Funktion ist ganz einfach, solange wir beschränkte Funktionen auf beschränkten Intervallen betrachten: Eine Funktion ist stetig, wenn sich der Graph der Funktion f ohne abzusetzen zeichnen lässt. Die Stetigkeit einer Funktion hat weitreichende Konsequenzen, die die Existenz von Nullstellen und Extrema betreffen. Wir geben diese Sätze an und schildern ein Verfahren, auch dann Nullstellen von stetigen Funktionen zumindest näherungsweise zu bestimmen, wenn dies analytisch nicht möglich ist.