Zusammenfassung
Die Standardinhalte des gegenwärtigen Unterrichts in Linearer Algebra/Analytischer Geometrie mit ihrer weitgehenden Beschränkung auf die Behandlung von Geraden und Ebenen und der ausführlichen Bestimmung von Schnittpunkten und -geraden sowie Abstands- und Winkelberechnungen erwecken leider bei Schülerinnen und Schülern oftmals eher den Eindruck eines „Exerzierplatzes“ als den eines „Zaubergartens“. Mit den in diesem Kapitel behandelten Themengebieten verfolgen wir vor allem die folgenden didaktischen Intentionen:
• Motivation durch reizvolle Formen und interessante Phänomene.
• Vernetzungen zwischen mathematischen Inhalten und Leitideen.
• Aufnahme authentischer Anwendungs- und Modellierungskontexte in den Unterricht der Analytischen Geometrie.
Diese didaktischen Intentionen werden anhand attraktiver und für die Schule gut geeigneter Themengebiete realisiert. Dazu gehören Elemente der 3D-Computergraphik (deren mathematische Grundlagen größtenteils in der Analytischen Geometrie liegen), interessante Kurven und Flächen, dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen im Zusammenhang mit Computeranimationen sowie das äußerst reichhaltige Feld der Kegelschnitte.
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Notes
- 1.
POV-Ray ist unter http://www.povray.org kostenlos erhältlich. Auf der Internetseite zu diesem Buch befinden sich die Datei mit dem oben angegebenen Quelltext, aus der POV-Ray die Abb. 5.1a erzeugt, sowie eine Kurzanleitung „Erste Schritte mit POV-Ray“.
- 2.
Näher wird auf die Beschreibung geometrischer Körper durch Koordinaten und Abmessungen sowie die entsprechende POV-Ray-Syntax in einer für Schüler verfassten Kurzanleitung eingegangen, die auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung steht.
- 3.
Die Beschreibung wichtiger optischer Eigenschaften von Oberflächen und die dem zugrunde liegenden mathematischen Modelle sind Gegenstände des Abschn. 5.2.
- 4.
Unterrichtsversuche wurden in Mathematik-Grundkursen der S II und außerdem in Arbeitsgemeinschaften mit Schülern der achten bis zehnten Jahrgangsstufe durchgeführt. Auch viele der jüngeren Schüler waren recht problemlos in der Lage, mit dem dreidimensionalen „POV-Ray-Koordinatensystem“ (Abb. 5.1b) zu arbeiten und ansprechende Graphiken mithilfe von POV-Ray zu erstellen. Die hier beschriebenen Vorgehensweisen bieten sich also nicht nur für den Einstieg in die Analytische Geometrie der S II an, sondern können Schüler bereits am Ende der S I an das Arbeiten mit Koordinaten im Raum heranführen. Einen für Schüler der Jahrgangsstufe 9 geschriebenen Einstieg in die 3D-Koordinatengeometrie mit einer Einführung in POV-Ray enthält das Schulbuch Lütticken/Uhl(2008), S. 208–215.
- 5.
Geeignete Vorlagen stehen auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung.
- 6.
Die Abbildungen fertigten Schüler eines Grundkurses eines Berliner Gymnasiums an. Unterschiede zwischen den Schülerergebnissen sind u. a. hinsichtlich der Genauigkeit der Positionierungen erkennbar. Es wird deutlich, dass für die Anordnung der Augen in Abb. 5.2b) bereits einige Zeit für Vorüberlegungen bzw. Versuche aufgewendet wurde. In den Ergebnissen einiger Schüler waren die Augen allerdings noch etwas weiter vom Kopf bzw. die „Knöpfe“ vom Bauch entfernt als in den Beispielen c) und d).
- 7.
Die Nutzung dieser Sprachelemente entspricht dem Übergang vom Rechnen mit Zahlen zur Verwendung von Variablen. Auch bei der Arbeit mit CAS sollte der Übergang von Berechnungen unter jeweiliger Eingabe konkreter Zahlen (Taschenrechnermodus) zur Definition von Variablen vollzogen werden.
- 8.
Als Einfallslot wird die auf der spiegelnden Oberfläche im Auftreffpunkt des einfallenden Lichtstrahles errichtete Senkrechte verstanden. In einigen Schulbüchern wird hinzugefügt, dass die beiden Strahlen und das Einfallslot in einer Ebene liegen; ansonsten geht dies aus einer Skizze bzw. einem Versuchsaufbau hervor und wird als selbstverständlich betrachtet.
- 9.
Diese Parameter werden als Renderparameter bezeichnet. Die angegebenen Namen beziehen sich auf POV-Ray; in anderer 3D-Graphiksoftware sind analoge Parameter einzustellen.
- 10.
Mindestens zwei Objekte sind notwendig, damit Spiegelungen auftreten. Bei der Anordnung der Objekte und der Kamera können Schüler ihre bei der Lösung der Aufgabe 2 gesammelten Erfahrungen nutzen. Möglich ist auch die Verwendung eines zuvor modellierten Schneemannes (siehe Abschn. 5.1), der durch eine Grundebene (z. B. mit Schachbrettmuster) ergänzt werden sollte. Andere Beispielszenen zur Untersuchung der Beleuchtungskomponenten stehen auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung.
- 11.
- 12.
Besonders gut sichtbar wird diese Tatsache bei Betrachtung eines Videos, in dem sich das Oktaeder dreht bzw. die Kamera um das Oktaeder herumfährt. Ein solches Video und die POV-Ray-Datei, mit der es erzeugt wurde, stehen auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung.
- 13.
Gerald Wittmann untersuchte auf Parametergleichungen von Geraden bezogene Schülerkonzepte und stellte fest, dass Schüler diese oft nicht als Gleichungen ansahen, die Mengen von Punkten in Abhängigkeit von Parametern beschreiben. Teilweise erkannten die Schüler weder die Bedeutung des Gleichheitszeichens in einer Parametergleichung noch die des Parameters, sondern betrachteten lediglich den Aufpunkt und den Richtungsvektor als „kennzeichnend“ für die beschriebene Gerade, vgl. Tietze et al.(2000), S. 140ff., Wittmann(2003a), S. 377ff.. Diese eingeschränkte Betrachtungsweise kann allerdings genügen, um die im Unterricht behandelten Standardaufgaben zu bearbeiten Wittmann(2003a), S. 389f..
- 14.
Die drei Aspekte funktionalen Denkens nach Vollrath(1989) lassen sich bei der Arbeit mit Parameterdarstellungen von Geraden folgendermaßen konkretisieren Wittmann(2003a), S. 381f.: Der Zuordnungscharakter wird durch die Zuordnung von Punkten zu Parameterwerten berücksichtigt. Der Aspekt des Änderungsverhaltens impliziert eine dynamische Sichtweise, auf die noch eingegangen wird. Die Sicht als Ganzes, d. h. als durch eine Parametergleichung gegebenes Objekt, kommt u. a. bei der Bestimmung von Schnittpunkten sowie bei der Betrachtung aus Geraden zusammengesetzter Objekte zum Tragen.
- 15.
Für alle hier besprochenen Beispiele stehen entsprechende GeoGebra-Dateien auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung.
- 16.
Eine sinnvolle Veränderung gegenüber der Beschreibung des Kreises, von der ausgegangen wurde, betrifft die Terme, von denen der Sinus und der Kosinus gebildet werden. Bei Spiralen und Schraubenlinien ist es oft erwünscht, mehr als eine Umdrehung zurückzulegen. Schülern kann dazu die Frage gestellt werden, wie die Terme \(\cos(2\pi t)\) und \(\sin(2\pi t)\) verändert werden müssen, damit für \(t\in\left[0;1\right]\) eine Kurve mit mehreren „Windungen“ entsteht.
- 17.
Entsprechende GeoGebra-Dateien sowie Videos, welche die Entstehung unterschiedlicher Zykloiden demonstrieren, stehen auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung.
- 18.
Beispielvideos für die beschriebenen Kameraflüge können unter http://www.afiller.de angesehen werden. Auf derselben Seite findet sich unter „Downloads & Links“ auch eine kurze (für Schüler verfasste) Anleitung für die Erstellung von Videos mithilfe von POV-Ray.
- 19.
Nach Thurstone(1938) ist räumliches Denken als Fähigkeit, mit räumlichen Vorstellungsinhalten gedanklich zu operieren, eine von drei Teilfähigkeiten räumlichen Vorstellungsvermögens; diese wird bei der Erstellung von Kameraanimationen aufgrund der notwendigen Vorstellungswechsel besonders angesprochen. Relativierend ist allerdings hinzuzufügen, dass die Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens bei Schülern der S II nur noch in eingeschränktem Umfang möglich ist; die hinsichtlich der geistigen Entwicklung besten Voraussetzungen hierfür bestehen zwischen dem 7. und dem 11. Lebensjahr, vgl. Besuden(1999).
- 20.
Lissajous-Kurven entstehen durch Überlagerung von Schwingungen und treten z. B. auf, wenn Wechselströme unterschiedlicher Frequenz an die x- und y-Elektroden eines Oszilloskops geschaltet werden, siehe z. B. http://www.mathematische-basteleien.de/lissajous.html. Durch die Parametrisierung der Schülerin wird dies simuliert: \(\sin\frac{t}{15}\) durchläuft in derselben Zeit doppelt so viele Perioden wie \(\cos\frac{t}{30}\), woraus sich die abgebildete Kurve ergibt.
- 21.
Dabei sollten auch die Übergänge von Parameterdarstellungen von Geraden (als einparametrige Gebilde) zu Ebenen (mit zwei Parametern) sowie von Kreisen zu Kugeln herangezogen werden, siehe Abschn. 4.1.2.
- 22.
Wird für den zweiten Parameter ein endliches Intervall gewählt, so handelt es sich nur um Strecken. Für die Erkennbarkeit der Form der entstehenden Figur ist dies sinnvoller.
- 23.
Ein Video, bei dem beide Parameterintervalle simultan vergrößert werden, kann auf der Internetseite http://www.afiller.de/3dcg (unter der Rubrik „Flächen“) betrachtet werden. Diese Seite enthält auch weitere Beispiele für durch Parameterdarstellungen beschriebene Flächen, die hier aus Platzgründen nicht diskutiert werden können.
- 24.
Das passt sehr gut zur Aufgabenvariation von Schupp(2003): Schüler sollen immer wieder zum Variieren der Bedingungen einer Aufgabenstellung angeregt werden.
- 25.
Was gilt, wenn P auf g liegt?
- 26.
Die in dem Abschn. 5.4.6 kurz besprochenen „Brennpunkteigenschaften“ motivieren diese Bezeichnungen.
- 27.
Die Gärtnerkonstruktion der Ellipse wurde erstmals von dem französischen Ingenieur und Architekten Ambroise Bachot im Jahr 1587 beschrieben. Die Ellipse selbst war schon den alten Griechen gut bekannt.
- 28.
Zum Beispiel führt die Bedingung „konstantes Abstandsprodukt“ zu den Cassini‘schen Kurven. J. D. Cassini (1625–1712) hat seine Kurven verwendet, um die Bahn der Sonne um die Erde (!) zu beschreiben.
- 29.
Es ist sehr wichtig, den Unterschied zwischen einem konkreten kegelförmigen Gegenstand und dem mathematischen Konstrukt „Kegel“ zu diskutieren – das Verständnis dieses Unterschieds ist eine Grundlage mathematischen Modellierens.
- 30.
Genauer ist dies ein senkrechter Kreiskegel, der aber für unsere Zwecke ausreichend ist.
- 31.
- 32.
Diese Idee ist verwandt mit einer Triangulierung der fraglichen Fläche, eine extrem wichtige mathematische Idee bei vielen Anwendungen (siehe z. B. Abschn. 5.2.3).
- 33.
In der Klassifikation dreidimensionaler Quadriken heißt dieser Typ „hyperbolisches Paraboloid“.
- 34.
Das griechische Wort „\(\tau o\mu o\varsigma\)“ (tomos) bedeutet „Schnitt“.
- 35.
Weitere bekannte Regelflächen sind ein (unendlicher Doppel-)Kegel und ein (unendlicher) Zylinder (siehe Abschn. 5.4.4.5).
- 36.
Einen kurzen Überblick über diese Arten von Kurven und Flächen enthält Filler(2008), S. 98–107, für ausführliche Darstellungen siehe Aumann/Spitzmüller(1993), S. 329–503.
- 37.
Im Gegensatz zu Bézier hatte de Casteljau ein Veröffentlichungsverbot, so dass die neue Methode unter dem Namen Béziers bekannt wurde.
- 38.
Eine Anleitung zur Konstruktion von Bézierkurven mit GeoGebra sowie GeoGebra-Dateien, bei denen die hier beschriebenen Vorgehensweisen umgesetzt sind, stehen auf der Internetseite zu diesem Buch zur Verfügung.
- 39.
Die Gründe dafür, dass hauptsächlich kubische Kurven zum Einsatz kommen, bestehen darin, dass quadratische Funktionen keine genügend flexible Steuerung der Kurvenform ermöglichen und Polynome höherer Ordnung sowohl rechenintensiv als auch recht instabil sind (d. h., es können bei geringen Variationen der Kontrollpunkte starke Änderungen der Kurvenform auftreten).
- 40.
Auf ausführliche Herleitungen dieser Eigenschaften wird hier verzichtet. Eine Einführung in Bézierkurven mit Aufgaben zur Herleitung zentraler Eigenschaften enthält die sehr empfehlenswerte, für Schüler geschriebene Broschüre von Baoswan Dzung Wong (Dzung Wong(2003)).
- 41.
Es wird natürlich dieselbe Tangente festgelegt, wenn man einen Richtungsvektor mit einer von null verschiedenen reellen Zahl multipliziert. Der Faktor ist aber bedeutsam für die Geschwindigkeit eines auf der Kurve bewegten Objekts (wenn man den Parameter t als Zeit auffasst, siehe hierzu Abschn. 5.3). Die Ableitung einer durch eine Parameterdarstellung beschriebenen Kurve liefert Tangentenvektoren, die zugleich Geschwindigkeitsvektoren sind.
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Henn, HW., Filler, A. (2015). Vertiefungen und Anwendungen der Analytischen Geometrie. In: Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-43435-2_5
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