Messwerte prognostizieren

Zusammenfassung

Mit statistischen Werkzeugen lassen sich nicht direkt messbare Grössen bestimmen. Dies ist exemplarisch in Kap. 5 gezeigt. Mit den Gesetzen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung lassen sich auch zukünftige gemessene oder beobachtete Werte einer Grösse prognostizieren. Ein solcher Blick in die Zukunft ist wegen fehlender Information meist mit Unsicherheit verbunden. Daher wird angegeben, wo solche Messwerte mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen werden. Für diese Aufgabe braucht man einerseits ein Datenmodell für mögliche Messwerte und andererseits die Plausibilität zu den Parametern des Datenmodells. Zukünftige Messwerte oder Beobachtungen kann man daraus mit dem Gesetz der Marginalisierung, das im vorigen Kapitel erklärt ist, prognostizieren. Dazu muss man Integrale ausrechnen. Sie sind kaum explizit berechenbar. Daher wird ein Verfahren vorgestellt, das auf einer Computersimulation aufbaut.

„Wie lautet euer Urteil?“ fragte der König die Schöffen.

„Halt, noch nicht!“ rief das Weisse Kaninchen dazwischen, „vor dem Urteil kommt noch allerlei anderes!“

„Ruft den ersten Zeugen“, sagte der König; und das Weisse Kaninchen stiess dreimal in seine Fanfare und rief: „Erster Zeuge!“

Lewis Carroll, Alice im Wunderland (Insel Taschenbuch, erste Auflage 1973, S. 112)

Reflexion

7.1

In einem Tiergehege mit vielen kleinen Tieren soll der Anteil der weiblichen Tiere berechnet werden. Dazu wurden zwölf Tiere nacheinander gefangen und ihr Geschlecht festgestellt. Gezogen wurden die Tiere durch Ziehen mit Zurücklegen, um zu garantieren, dass die Messwerte unabhängig sind. Hier das Resultat:

$$\text{Gefangene Tiere:}~{}12,\quad\text{weiblich:}~{}10,\quad\text{m{\"a}nnlich:}~{}2$$

Weitere Information zum Anteil an weiblichen Tieren ist nicht vorhanden.

• (a) Prognostizieren Sie: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit – gegeben die Daten –, dass das nächste, zufällig gewählte Tier weiblich ist? Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit auch mit einer Monte-Carlo-Simulation.

• (b) Führen Sie die Rechnung von (a) noch einmal durch, diesmal mit einer Stichprobe von 20 Tieren, bei der alle weiblich waren.

7.2

Die Leitung einer Firma, die 3000 Personen angestellt hat, möchte erfahren, ob die Angestellten mit ihrer Arbeit zufrieden sind. Dazu werden mit zufälligem Ziehen zwanzig Angestellte ausgewählt und befragt. Die Antworten treten in Kategorien „zufrieden“ und „nicht zufrieden“ auf. Hier das Resultat:

$$\text{Befragte Personen:}~{}20,\qquad\text{Antwort {,,}zufrieden{``}:}~{}18$$

Hat man keine weiteren Informationen zur Arbeitszufriedenheit, so lautet der Posterior zum Anteil A aller Personen in der Firma, die mit ihrer Arbeit zufrieden sind:

$$\text{pdf}(A\;|\;\text{Daten, min. Vorinformation})\;\propto A^{18}\cdot(1-A)^{2}$$

• (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste, zufällig ausgewählte Person sagt, dass sie mit der Arbeit zufrieden ist.

• (b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit in (a) auch mit einer Monte-Carlo-Simulation.

• (c) Wie lautet die Wahrscheinlichkeit in (a), wenn der Fragebogen die Antworten „zufrieden“, „nicht zufrieden“ und „weiss nicht“ zulässt?

7.3

Mit einer Umfrage möchte eine Firma wissen, wie gross der Anteil A der erwachsenen Personen in der Schweiz ihr Produkt ‚Supergut‘ kennen. Dazu werden 1000 Personen befragt. Als Antworten sind erlaubt: „Kenne ich!“ oder „Kenne ich nicht!“. 604 Personen geben an, das Produkt zu kennen. Als (unplausible?) Annahme gilt: die Antworten besitzen keine systematischen Fehler und sind unabhängig.

• (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste, zufällig ausgewählte Person sagt, dass sie das Produkt „Supergut!“ kenne.

• (b) Wie lautet die Antwort zu (a), wenn der Fragebogen neben den oben erwähnten Antworten auch die Antwort „Ich bin mir nicht sicher“, zulässt?

7.4

In Publikationen werden Ergebnisse zur Wirkung von Medikamenten in verschiedensten Formen dargestellt. In einem Kurs mussten 119 Ärzte, die in der Schweiz praktizieren, vier solcher Ergebnisse lesen. Dabei interpretierten nach  2; 13 Ärzte die Ergebnisse richtig und die anderen 106 Ärzte falsch.

• (a) Berechnen Sie aus der gegebenen Information den Anteil A aller in der Schweiz praktizierendenÄrzte, die die vier Ergebnisse richtig interpretieren würden. Geben Sie als Resultat an: die A posteriori-Verteilung von A, den plausibelsten Wert und Wahrscheinlichkeitsintervalle zum Niveau 0,5 und 0,95. Bestimmen Sie mit den „Standardfehler-Formeln“ auch Wahrscheinlichkeitsintervalle für A zum Niveau von ungefähr 0,5 und ungefähr 0,95.

• (b) Geben Sie die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung des Resultats aus der Aufgabe (a) an.

• (c) Berechnen Sie aus der vorhandenen Information die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste befragte Arzt die Ergebnisse richtig interpretiert.