Zusammenfassung
Der Zweifel an der Euklidischen Geometrie scheint so alt zu sein wie diese selbst und ist keineswegs erst, wie das von unsern Philosophen meist angenommen wird, eine Ausgeburt moderner mathematischer Hyperkritik. Dieser Zweifel hat sich von jeher an das V. Postulat des Euklid geknüpft. Es besagt im wesentlichen, daß in einer Ebene, in der eine Gerade g und ein nicht auf ihr gelegener Punkt P gegeben sind, nur eine einzige Gerade existiert, welche durch P hindurchgeht und g nicht schneidet; sie heißt die Parallele. Während die übrigen Axiome des Euklid ohne weiteres als evident zugestanden wurden, haben sich schon die ältesten Erklärer bemüht, diesen Satz auf Grund der übrigen Axiome zu beweisen. Heute, wo wir wissen, daß das gesteckte Ziel nicht erreicht werden konnte, müssen wir in diesen Betrachtungen die ersten Anfänge der »Nicht-Euklidischen« Geometrie erblicken, d. h. des Aufbaus eines geometrischen Systems, das zu seinen logischen Grundlagen die sämtlichen Axiome des Euklid mit Ausnahme des Parallelenpostulats annimmt. Wir besitzen von Proklus (5. Jahrh. n. Chr.) einen Bericht über derartige Versuche.
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Literatur
Zu genauerer Orientierung sei auf das in der Teübnerschen Sammlung »Wissenschaft und Hypothese« (Bd. IV) erschienene Buch von Bonola und Liebmann, »Die Nicht-Euklidische Geometrie«, verwiesen.
F. Klein, Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie, Math. Ann. Bd. 4 (1871), S. 573. Vgl. auch die ferneren Abhandlungen in Math. Ann. Bd. 6 (1873),, S. 112 und Bd. 37 (1890), S. 544.
Sixth Memoir upon Quantics, Philosophical Transactions, t. 149 (1859).
Mathematische Werke (2. Aufl., Leipzig 1892), Nr. XIII, S. 272. Als besondere Schrift herausgegeben und kommentiert vom Verf. (Springer 1919).
Saggio di interpretazione delia geometria non euclidea, Giorn. di Matern. t. VI (1868), S. 204; Opere Matern. (Höpli 1902), t. I, S. 374.
Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., Leipzig 1909), Anhang V.
Vgl. die Zitate Kap. I,3). Christoffel, Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, Journ. f. d. reine und angew. Mathematik Bd. 70 (1869); Lipschitz, im gleichen Journal Bd. 70 (1869), S. 71, und Bd. 72 (1870), S. I.
Christoffel, I.e.7). Ricci und Levi-Civita, Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications, Math. Ann. Bd. 54 (1901).
Von wichtigem Einfluß auf die Ausbildung dieser Geometrie waren die schon im Zeichen der Einsteinschen Gravitationstheorie erschienenen Arbeiten: Levi-Civita, Nozione di parallelismo in una varietà qualunque ..., Rend. del Circ. Mat. di Palermo, t. 42 (1917), und Hessenberg, Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie, Math. Ann. Bd. 78 (1917). Zu vollständigem Durchbruch kam sie in der Abhandlung des Verf. »Reine Infinitesimalgeometrie«, Math. Zeitschrift Bd. 2 (1918).
Der Begriff der Parallelverschiebung eines Vektors wurde für die Riemann-sche Geometrie von Levi-Civita aufgestellt in der unter 9) zitierten Abhandlung; zu seiner Herleitung nahm aber Levi-Civita an, daß der Riemannsche Raum in einen höherdimensionalen Euklidischen eingebettet ist. Eine direkte Erklärung des Begriffs wurde vom Verf. in der I. Aufl. dieses Buchs mit Hilfe des geodätischen Koordinatensystems gegeben ; zu einem axiomatischen Grundbegriff, der für die Stufe der affinen Geometrie charakteristisch ist, wurde er in der unter 9) zitierten Abhandlung »Reine Infinitesimalgeometrie« erhoben. Siehe außerdem J. A. Schouten, Die direkte Analysis zur neueren Relativitätstheorie, Verh. d. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam, 1919. 11) Hessenberg, 1. c.9), S. 190.
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Weyl, H. (1919). Das metrische Kontinuum. In: Raum · Zeit · Materie. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-43111-5_3
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