Zusammenfassung
In diesem Kapitel soll der Grundgedanke von Gausz’ flächentheoretischen Untersuchungen auseinandergesetzt werden. Denkt man sich eine Fläche aus einem biegsamen, undehnbaren Stoff hergestellt, wie er etwa durch Papier verwirklicht wird, so läßt diese Fläche (oder ein genügend kleines Stück von ihr) außer ihrer Beweglichkeit als starrer Körper im allgemeinen auch noch Formänderungen, sogenannte „Verbiegungen“ zu. Die Undehnbarkeit äußert sich dadurch, daß die Bogenlängen aller auf der Fläche gezogenen Kurven bei der Verbiegung ungeändert bleiben. Etwas allgemeiner bezeichnet man als „längentreue“ oder „isometrische Abbildung“ zweier Flächen aufeinander eine Transformation mit Erhaltung der Längen. Verbiegungen von Flächenstreifen haben wir ja schon im § 37 behandelt. Jetzt wollen wir uns mit der Verbiegung ganzer Flächen beschäftigen.
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Referenzen
H. Lebesgue: Comptes Rendus Bd. 128, S. 1502–1505. Paris 1899. Die Tangentenflächen der isotropen Kurven (§ 19) sind nicht „abwickelbar“.
F. Minding: Bemerkung über die Abwicklung... Grelles Journal Bd. 6, S. 159. 1830; J. Liouville in Monges Application... 1850, S. 568 unten.
Das Wort „Linienelement“ oder „Bogenelement“ wird in zwei verschiedenen Bedeutungen gebraucht. Während sonst immer die erste Grundform der Flächentheorie darunter zu verstehen ist, ist hier ein Punkt mit hindurchgehender Richtung gemeint.
Die Bedingung des Einbettens ist nahe verwandt mit der sogenannten Bedingung Jacobis, auf die wir später (§ 99) zu sprechen kommen werden.
Auf die Frage, in welchem Umkreis um o diese geodätischen Polarkoordinaten brauchbar sind, kommen wir später zu sprechen.
Vgl. G. Monge: Application..., 5. Aufl. 1850, 4. Note, S. 583–588. Diguet: Journ. de Mathématiques (1), Bd. 13, S. 83–86. 1848.
Vgl. etwa G. Scheffers: Theorie der Flächen, 2. Aufl.,S. 139ff., bzw. die Figur S. 141. Leipzig 1913.
H. Poincaré: Acta mathematica Bd. 1, S. 1–62. 1882.
O. Bonnet: Journal de l’Ecole Polytechnique Bd. 19, S. 131. 1848.
Ansätze zu einer Methode, wie man die Sätze dieses Abschnitts und überhaupt die wichtigsten Sätze der Biegungsgeometrie der Flächen mittels Approximation der Fläche durch Vielflache beweisen könnte, finden sich in der Arbeit von J. C. Maxwell: Transformation of surfaces by bending. Scientific papers of J. C. Maxwell, Vol. I, p. 80. Vgl. auch R. Sauer: Münchner Sitzungsberichte 1928, S. 97–104, sowie Jahresber. d. deutsch. Math. Vgg. Bd. 38, 2. Abt., S. 9. 1929.
E. Beltrami: Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea. Werke I, S. 374–405. 1868.
Für den Fall der ebenen Geometrie ist das ja die bekannte Beziehung zwischen Evolute und Evolvente von §21 (Fadenkonstruktion).
Nach G. Darboux stammen diese Sätze von Jacobi. Vgl. Darboux: Surfaces III, S. 87.
Vgl. H. Poincaré: Am. Trans. Bd. 6, S. 241. 1905.
E. Beltrami: Ricerche di analisi applicata alla geometria. Opere I, S. 107 bis 198. Besonders Nr. XIV und XV.
G. Darboux: Théorie des surfaces III, S. 151. 1894.
Die Bedingung reicht aber durchaus richt hin. Trägt man z. B. auf den Tangenten einer Schraubenlinie gleiche Längen ab, so bilden die Endpunkte auf der Tangentenfläche einen offenen Krümmungskreis.
Die Entwicklungen dieses Abschnitts sind einer vom Verfasser veranlaßten Arbeit von B. Baule entnommen: Über Kreise und Kugeln im Riemannschen Raum I. Math. Ann. Bd. 83, S. 286–310. 1921.
Eine geometrische Deutung der isothermen Kurvennetze findet sich im Band III dieses Lehrbuches, § 72.
Wegen der Literatur über diesen Gegenstand vgl. man L. Lichtenstein: Zur Theorie der konformen Abbildung... Bull. Acad. Cracovie 1916, S. 192–217.
O. Bonnet: Sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée. Journal de l’Ecole polytechnique. XXV (Cahier 42), S. 58ff. 1867.
Vgl. die am Anfang von § 87 zitierte Arbeit von Bonnet.
Die Rechnung ist in der zu Beginn des § 87 zitierten Arbeit von Bonnet durchgeführt.
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Blaschke, W. (1930). Geometrie auf einer Fläche. In: Thomsen, G. (eds) Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie I. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 1. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-42943-3_7
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