Kurventheorie

Zusammenfassung

Eine räumliche Kurve kann man dadurch festlegen, daß man die rechtwinkligen Koordinaten x ₁, x ₂, x ₃ eines Kurvenpunktes als Funktionen eines Parameters t gibt

$${x_k} = {x_k}\left( t \right),k = 1,2,3$$

((1))

. Es soll von den Funktionen x _k (t) im folgenden in der Regel angenommen werden, daß sie „analytisch“ sind, sich also an jeder von uns zu betrachtenden Stelle t ₀ nach Potenzen von t — t ₀ entwickeln lassen, derart, daß die Reihen für hinlänglich kleine |t — t ₀| konvergieren. Wir werden ferner im allgemeinen nur reelle Parameterwerte und nur reelle analytische Funktionen zulassen. Natürlich dürfen unsere drei Funktionen x _k (t) nicht alle drei konstant sein, sonst schrumpft die Kurve auf einen einzelnen Punkt zusammen. Wir wollen sogar annehmen, daß an keiner Stelle t alle Ableitungen der drei Funktionen gleichzeitig verschwinden, ein Fall, der seinen Grund sowohl in der Parameterdarstellung wie auch in einem besonderen Verhalten der Kurve an der Stelle t haben kann.