Logische Paradoxien. Nochmals der Begriff der Menge

  • Adolf Fraenkel

Zusammenfassung

Als im letzten Absatz des vorigen Paragraphen von Einwendungen die Rede war, die gegen den Wohlordnungssatz erhoben worden sind, mag der eine oder andere Leser den Kopf geschüttelt und sich gefragt haben: sind denn Einwendungen gegen mathematisch bewiesene Sätze möglich, handelt es sich denn in der Mengenlehre, die doch eine mathematische Disziplin ist, um Glaubenssachen und nicht vielmehr um ein durch logisch zwingende Schlüsse errichtetes Gebäude? In dieser Beziehung muß sich der Leser allerdings zunächst mit einer Enttäuschung abfinden: das Gebäude der Mengenlehre, wie wir es in seinen Umrissen bisher kennengelernt haben, ist in der Tat nicht vollständig sicher und unangreifbar zusammengefügt. Wir werden nämlich sehen, daß aus unserem bisherigen Mengenbegriff und seiner Verwendung logische Unstimmigkeiten, die sogenannten „Paradoxien der Mengenlehre“, hergeleitet werden können, die unsere Überlegungen als unsicher erscheinen lassen. Während der Widerspruch der Mathematiker, der sich in den ersten Jahren (und selbst Jahrzehnten) des Cantorschen Schaffens aus — historisch verständlichem — Mißtrauen gegenüber dem Unendlichen erhoben hatte, allmählich infolge der unbestreitbaren großen Erfolge der jungen Mengenlehre und infolge ihrer sich mehr und mehr systematisch gestaltenden Begründung verstummt war, haben die logischen Paradoxien aufs neue einzelne, darunter auch ganz hervorragende Mathematiker veranlaßt, die allgemeinen Teile der Mengenlehre abzulehnen; und auch wo dieser prinzipiell abweisende Standpunkt nicht eingenommen wurde, hat begreiflicherweise das Vorhandensein einer mathematischen Disziplin, die sich logische Blößen gab und in der es vielmehr auf subjektive Überzeugung als auf zwingend begründete Erkenntnis anzukommen schien, großes Unbehagen hervorgerufen.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. 1).
    E. Zermelo, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. Math. Annalen, Bd. 65 (1908), S. 261–281. Man vergleiche zum vorliegenden Paragraphen auch Zermelos Ausführungen im nämlichen Bande, S. 111-128, wo er sich mit den gegen seinen ersten Beweis des Wahlordnungssatzes erhobenen Einwendungen auseinandersetzt.MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  2. 1).
    Weiteres hierzu und zu anderen Paradoxien sowie zu den Grenzfragen zwischen Mathematik — insbesondere Mengenlehre — und Philosophie überhaupt in B. Russells Werk: The principles of mathematics, Vol. I (Cambridge 1903) sowie in seiner dreibändigen Fortsetzung: Russell and Whitehead, Principia Mathematica. In diesem Zusammenhang seien weiter einige einschlägige Schriften genannt (deren Standpunkt übrigens großenteils von der im folgenden vertretenen Auffassung erheblich abweicht)Google Scholar
  3. J. Richard, Sur la philosophie des mathématiques (Paris 1903).Google Scholar
  4. L. Couturat, Les principes des mathématiques (Paris 1905; deutsch von c. Siegel, Leipzig 1908).Google Scholar
  5. H. Poincare, Science et méthode (Paris 1908; deutsche Ausgabe v. F. u. L. Lindemann, Leipzig 1914).Google Scholar
  6. J. König, Neue Grundlagen der Logik, Arithmetik u. Mengenlehre (Leipzig 1914).Google Scholar
  7. L. E. J. Brouwer, Begründung der Mengenlehre unabh. vom log. Satz vom ausgeschlossenen Dritten, I. Teil (Amsterdam 1918).Google Scholar
  8. 1).
    Zur Kritik dieser Paradoxie vgl. H. Weyl, Das Kontinuum (Leipzig 1918), S. 1–2.Google Scholar
  9. 2).
    Bemerkenswerte Schritte in dieser Richtung hat namentlich B. Russell gemacht (siehe das Zitat auf S. 131). Man vergleiche hierzu D. Hilberts Aufsatz „Axiomatisches Denken“ (Math. Annalen, Bd. 78 [1918], S. 405–415, nam. 411 f.).CrossRefGoogle Scholar
  10. 1).
    Diese Tatsache ist jüngst von Hartogs bewiesen worden (Math. Ann., Bd. 76 (1915), S. 438).MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1919

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität MarburgDeutschland

Personalised recommendations