Wohlgeordnete Mengen. Die Wohlordnung und ihre Bedeutung

Zusammenfassung

Unter der Gesamtheit der geordneten Mengen, mit denen wir uns in den letzten beiden Paragraphen beschäftigt haben, gibt es eine gewisse Klasse von Mengen, welche durch die besondere — wenn man will, besonders einfache — Art der Anordnung ihrer Elemente bemerkenswert sind und die man als „wohlgeordnet“ bezeichnet. Im Reiche der wohlgeordneten Mengen herrschen besonders einfache Verhältnisse, die in vielen Beziehungen an die uns wohlvertrauten Eigenschaften der gewöhnlichen Zahlenreihe erinnern. Dementsprechend werden wir in den Ordnungstypen der wohlgeordneten Mengen eine Klasse „unendlicher Größen“ kennenlernen, die viele Eigenschaften der endlichen Zahlen aufweisen und uns daher einen weniger fremden Eindruck machen, als ihn die unendlichen Kardinalzahlen und die Ordnungstypen beliebiger unendlicher geordneter Mengen zunächst erwecken mochten. Ist schon hierdurch ein besonderes Eingehen auf die Theorie der wohlgeordneten Mengen hinreichend gerechtfertigt, so werden gewisse Eigenschaften dieser Mengen doppelt bedeutungsvoll dadurch, daß sie sich auf ganz beliebige Mengen übertragen lassen; neuerdings nämlich ist der strenge Nachweis der schon von Cantor mit Sicherheit vermuteten Tatsache gelungen, daß die Elemente jeder beliebigen (geordneten oder überhaupt nicht geordneten) Menge sich zu einer wohlgeordneten Menge anordnen bzw. umordnen lassen, und dieser Nachweis gestattet uns, wichtige Vereinfachungen für die Theorie beliebiger unendlicher Kardinalzahlen herzuleiten.