Zusammenfassung
Eine Gruppe Γ des Grades n, deren Ordnung eine Primzahlpotenz p a ist, kann immer auf monomiale Gestalt transformiert werden. Ist p b die höchste in n! aufgehende Potenz von p, so enthält G einen Abelschen Normalteiler, dessen Index ein Teiler von p b ist. Das Problem, alle Substitutionsgruppen n-ten Grades, deren Ordnung eine Potenz von p ist, aufzustellen, ist zurückgeführt auf das Problem, die Sylowgruppe von der Ordnung p b für die symmetrische Gruppe von n Variablen zu bestimmen. Wir sind noch weit davon entfernt, ein ähnliches Konstruktionsprinzip für alle endlichen Gruppen des Grades n anzugeben, aber einige hochwichtige Resultate sind in dieser Hinsicht bereits erzielt worden.
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Referenzen
Bieberbach, L.: Über einen Satz des Herrn C. Jordan in der Theorie der endlichen Gruppen linearer Substitutionen. Berl. Ber. S. 231 bis 240, 1911.
Frobenius, G.: Über den von L. Bieberbach gefundenen Beweis eines Satzes von C. Jordan. Berl. Ber. S. 241 bis 248, 1911. Außerdem die oben erwähnte Abhandlung über unitäre Matrizen.
Wichtige Ergänzungen enthalten: Dickson, I., E.: On the group defined for any given field by the multiplication table: Am. math. Soc. Trans. 3, S. 285–301, 1902. Modular theory of group characters: Am. math. Soc. Bull. (2) 13, S. 477–488.
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Speiser, A. (1923). Gruppen von gegebenem Grade. In: Die Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 5 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-42031-7_14
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