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Der axiomatische Aufbau der Mengenlehre. Die axiomatische Methode

  • Adolf Fraenkel
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

Wir gehen nun zur ausführlichen Darstellung der axiomatischen Begründung der Mengenlehre über, wie sie in den wesentlichsten Zügen schon 1908 von Zermelo [3] gegeben worden ist. Dieser Aufbau der Mengenlehre1 verläuft nach der sog. axiomatischen Methode, die vom historischen Bestand einer Wissenschaft (hier der Mengenlehre) ausgeht, um durch logische Analyse der darin enthaltenen Begriffe, Methoden und Beweise die zu ihrer Begründung erforderlichen Prinzipien — die Axiome — aufzusuchen und aus ihnen die Wissenschaft deduktiv herzuleiten. Gemäß dem Wesen dieser Methode sehen wir ganz davon ab, den Mengenbegriff zu definieren oder näher zu zergliedern ; vielmehr gehen wir lediglich von gewissen Axiomen aus, in denen der Mengenbegriff wie auch die Relation2 „als Element enthaltensein“ auftritt und die Existenz gewisser Mengen gefordert wird. Durch die Gesamtheit der Axiome wird so der Begriff der Menge gewissermaßen unausgesprochen festgelegt, nachdem die ausdrückliche Umgrenzung, wie sie die Definition Cantors (S. 4) enthielt, sich als unhaltbar erwiesen hat und auch augenscheinlich (abgesehen von den Methoden der beiden vorangehenden Paragraphen) nicht etwa durch eine brauchbarere Definition ersetzt werden kann (vgl. indes S. 385f.).

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Referenzen

  1. 1.
    Wesentlich andere Methoden, die Mengenlehre axiomatisch zu begründen, stammen von Schoenflies ([9], vgl. auch [7] und [10]; diese Methode ist nur in sehr beschränktem Maße durchgeführt und durchführbar, siehe Merzbach [1]) sowie von v. Neumann [2] (vgl. auch die umfassende Ausführung in der nach Fertigstellung dieses Buches erschienenen Abhandlung [4]) ; der Ausgangspunkt der letzteren Arbeiten, nach der der Kreis der existierenden Mengen ein weiterer ist als nach der hier durchgeführten Axiomatik, besitzt bemerkenswerte Vorzüge, wenn er auch — u. a. wegen der Voranstellung der Funktion an Stelle der Menge — als ungewohnt und darum im Anfang als schwierig erscheint. Eine weitere Axiomati-sierung der Mengenlehre, von Finsler ([3], vgl. auch [1] und [2]) stammend, verfügt ihrer ganzen Anlage nach nicht über hinreichend zuverlässige und scharfe Methoden, um das gesteckte Ziel zu erreichen (vgl. Baer [3]).Google Scholar
  2. 2.
    Dieses in der mathematischen Grundlagenforschung (wie in der Philosophie) üblichen Ausdruckes bedienen wir uns fortan an Stelle des in den ersten Kapiteln gebrauchten farbloseren Ausdruckes „Beziehung“ (der in der Logik zuweilen von jenem ausdrücklich geschieden wird).Google Scholar
  3. 1.
    Allerdings trägt die ältere (und vielleicht originalere) Auffassung Cantors über den Mengenbegriff einen fühlbar anderen, mehr konstruktiven Charakter (vgl. etwa [7 V]).Google Scholar
  4. 2.
    Daß „Sinn“ hier nur ganz formal zu verstehen ist, wird in § 18 eingehender zur Sprache kommen. Vgl. hierzu und zum nächsten Absatz namentlich Nr. 5 des § 18, S. 354.Google Scholar
  5. 1.
    Vgl. Spinozas Wort „omnis determinatio est negatio“ und die systematische Ausführung des obigen Gedankens bei Geiger [1] (besonders S. 32f.).Google Scholar
  6. 1.
    Man benutzt für diese (aus der Grundrelation e abgeleitete) Relation vielfach das Subsumptionszeichen €, schreibt also m € n. Doch soll nachstehend vom Gebrauch dieses Zeichens abgesehen werden.Google Scholar
  7. 1.
    Wegen einer eventuell noch dazu tretenden abschließenden Forderung siehe S. 355f.Google Scholar
  8. 1.
    Man erinnere sich an das angebliche „Axiom“: wenn zwei Größen einer dritten gleich sind, so sind sie untereinander gleich. Vom oben eingenommenen Standpunkt aus dient diese Eigenschaft der Gleichheit zusammen mit den übrigen oben angeführten Eigenschaften dazu, die Gleichheit zu definieren.Google Scholar
  9. 1.
    Z. B. behauptet das letzte Fermatsche Theorem (S. 229), daß die Menge der natürlichen Zahlen n, für die die Gleichung xn + yn = zn ganzzahlig lösbar ist, gleich der Menge (1, 2) sei. Von der logischen Identität dieser beiden Zahlenmengen kann aber doch keine Rede sein! Man vergleiche auch das, was auf S. 254ff. über den extensionalen Charakter der Mathematik bemerkt worden ist.Google Scholar
  10. 1.
    So sind wir formal schon früher (a. a. O.) verfahren.Google Scholar
  11. 1.
    Hier und im nächstfolgenden wäre eigentlich (im Sinn des Axioms der Paarung) noch die Bedingung zu stellen, daß die zu paarenden Mengen voneinander verschieden sind; von dieser Bedingung werden wir uns jedoch bald freimachen (S. 287 oben und 312).Google Scholar
  12. 2.
    Ganz wie in § 7 (S. 85f.) ist (auf Grund der Definition 2) leicht zu sehen, daß die Vereinigungsmengen 𝕾 A und 𝕾 C gleich sind und daß auch für beliebig viele Summanden (d. h. im allgemeinen Fall des Axioms III) das assoziative Gesetz gilt. Die Gültigkeit des kommutativen Gesetzes ist schon im vorigen Absatz festgestellt worden.Google Scholar
  13. 1.
    Sind z. B. a, b, c drei verschiedene Elemente von m, so existieren nach dem A. d. Paarung die Paare (a, b) = n und (a, c) = p, also auch das Paar M = (n, p) = ((a, b), (a, c)); dessen Vereinigungsmenge ist 𝕾M = (a, b, c), d. i. (nach Definition 1) eine Teilmenge von m. Entsprechend kann man Teilmengen von vier, fünf usw. Elementen bilden.Google Scholar
  14. 1.
    Man kann diese Eigenschaft noch schärfer folgendermaßen zergliedern: Ist 5 irgendeine Teilmenge von 𝕾M, so kommt einem beliebigen Element von M (d. h. einer der Mengen m, n, p, . . .) die Eigenschaft 𝕾1, gerade ein einziges Element von 5 zu enthalten, entweder zu oder nicht zu. Die Teilmenge der diese Eigenschaft besitzenden Elemente von M ist demnach mit M𝕰1 zu bezeichnen (A. d. Aussonderung). Ist M𝕰1= M, d. h. besitzt jede der Mengen m, n, p, . . . die Eigenschaft 𝕰1, so heißt das im Sinn der obigen Bezeichnung: Die Menge S besitzt die Eigenschaft 𝕰 (nämlich mit jedem Element von M ein einziges Element gemein zu haben).Google Scholar
  15. 1.
    Französisch wird das Axiom „axiome du choix“ oder auch „axiome de Zermelo“ genannt, englisch meist „multiplicative axiom“ (vgl. den folgenden Absatz).Google Scholar
  16. 1.
    Das Unbefriedigende der Zermeloschen Umgrenzung jenes Eigenschaftsbegriffs hat z. B. auch für Weyl einen Hauptanstoß zu seiner (im § 14 besprochenen) Revolutionierung der Mathematik gegeben (vgl. Weyl [1] sowie [2], S. 36).Google Scholar
  17. 1.
    Genau genommen kann man noch die Verschiedenheit von φ (x) und Ψ (x) voraussetzen, was sich aber nachträglich als bedeutungslos erweisen würde (vgl. Beispiel 3 und S. 312).Google Scholar
  18. 1.
    Bei systematischer Verwendung dieser Schreibweise muß man diejenige (scheinbare) Veränderliche, die bei der Aussonderung die sämtlichen Elemente der Ausgangsmenge (hier M) zu durchlaufen hat, durch besondere Schreibweise (z.B. Fettdruck) auszeichnen gegenüber der anderen, eigentlichen Veränderlichen (Unbestimmten), von der nach erfolgter Anwendung des Axioms V die entstandene Teilmenge abhängig bleibt (vgl. den Unterschied zwischen der Integrationsvariabein und einem unter dem Integralzeichen vorkommenden Parameter).Google Scholar
  19. 2.
    In dieser Weise läßt sich allgemein die Relation φ (x) = Ψ (x) auf die Relation φ (x) ε (Ψ (x)) zurückführen und dem Schema des Axioms V’ einordnen..Google Scholar
  20. 1.
    Vgl.z. B. J. König [5], S. 170f; Dingler [5], S. 88ff. Auch Poincarés Ansicht, wonach man selbst im Fall einer endlichen Menge M unter Umständen des Auswahlaxioms als eines besonderen Prinzips bedarf, erklärt sich aus einer nicht rein existentialen Auffassung des Axioms. Ebenso ist die hypothetische Rolle, die in den Principia Mathematica dem Auswahlaxiom zugewiesen wird, vielleicht doch von einer konstruktiven Vorstellung durchsetzt; im rein existentialen Sinn, dem nicht jede zulässige Menge als „angebbar“ zu gelten braucht, könnte von Russells Standpunkt aus auch wohl dem Auswahlaxiom ein „tautologischer“ Charakter zugebilligt werden. Vgl. Ramsey [1], S. 355.Google Scholar
  21. 1.
    Ob man freilich ohne Heranziehung des Auswahlprinzips eine nachweislich von 0 verschiedene Menge angeben kann, in der man kein einzelnes Element hervorzuheben, d. h. von den übrigen Elementen zu unterscheiden vermöchte, erscheint zum mindesten recht zweifelhaft. Mit der Menge aller (mittels eines gegebenen Bezugssystems) nicht „endlich darstellbaren“ reellen Zahlen (Hessenberg [3]; vgl. auch S. 214f.) wird man sich schwerlich befreunden.Google Scholar
  22. 1.
    Ähnlich ist übrigens die Sachlage bei jeder „abzählbaren“ Menge M, sofern man diesen Ausdruck nicht im üblichen, sondern im streng intuitionistischen Sinne versteht. Für diesen ist nämlich eine tatsächliche Abzählung der Elemente m, n, p, . . . von M nicht wohl anders möglich, als daß aus jeder dieser Mengen je ein bestimmtes Element systematisch angegeben wird, und dann erscheint die Aussage des Auswahlprinzips wiederum beweisbar. Vgl. Lusin [2], S. 8L Entsprechendes gilt für jede „effektiv wohlgeordnete“ Menge.Google Scholar
  23. 1.
    Für die Bedeutung dieses — in gleicher Art auf Beweise anwendbaren — Begriffs vgl. F. Bernstein [4], § 4, namentlich aber Sierpinski [2] sowie Knaster-Kuratowski [1] und Lusin [1] und [2].Google Scholar
  24. 2.
    Auf schärfer umrissenem Weg gehen Hardy [1] (vgl. [2] und Hobson [1]) und Hausdorff [1 II] (S. 156) zur Ermittlung derartiger Teilmengen des Kontinuums vor; indes ergibt sich beim heutigen Stand der Wissenschaft auch hierbei kein effektives Beispiel.Google Scholar
  25. 3.
    Vgl. Sierpinski [2]. Es gibt freilich auch andere Fälle, wo die rein existentiale Schlußweise des tertium non datur verantwortlich ist, wie z. B. in Hilbertssogenanntem „theologischem“ Nachweis eines endlichen Invariantensystems (siehe S. 227).Google Scholar
  26. 1.
    Für eine umfassende Übersicht über solche Stellen innerhalb und außerhalb der Mengenlehre sowie für eine Erörterung der Frage, ob das Auswahlaxiom an diesen Stellen unvermeidlich ist, vergleiche man besonders Sierpinski [1]. Von den (dort nicht genannten) einschlägigen arithmetischen Problemen ist vor allem das der algebraisch abgeschlossenen Erweiterungen eines Körpers oder Ringes (Steinitz [1], S. 170 und 286f.; Krull [1], S. 110ff.) zu nennen; man vergleiche ferner Artin-Schreier [1], Baer [1] und [2], Kamke [2], Noether [1] und [2], Ostrowski [1], Prüfer [1], Souslin [1], Tambs Lyche [1] und Zermelo [6], Arbeiten, die meist in enger Beziehung stehen zur angeführten Methode von Steinitz oder zu der von Hamel [1] (gleichfalls mittels des Wohlordnungssatzes) ermöglichten Basisbildung. Gegenüber Steinitz [1] vgl. auch v. Neumann [5].Google Scholar
  27. 1.
    Die Menge aller möglichen Abbildungen zwischen zwei gegebenen äquivalenten Mengen erweist sich auf Grund unseres Axiomensystems als existierend; vgl. S. 314f.Google Scholar
  28. 1.
    Für andere vom Auswahlprinzip abhängige Gleichwertigkeiten zwischen verschiedenen Definitionen der Endlichkeit bzw. Unendlichkeit vgl. Tarski [4], S. 94f., sowie nachstehend S. 320f. Zu dem ganzen Gegenstand siehe ferner Wrinch [1] sowie Chwistek [3]. Überraschend ist auch folgendes (vgl. Lindenbaum-Tarski [1]) : Daß für irgendwelche Mächtigkeiten m, n aus (math) stets (math) folgt, ist ohne Auswahlprinzip beweisbar; dagegen ist die Aussage, daß (math) stets (math) nach sich zieht, dem Auswahlprinzip gleichwertig.Google Scholar
  29. 1.
    Gewisse Kardinalzahlrelationen, die gleichfalls mit dem Auswahlaxiom gleichwertig sind, findet man bei Tarski [3] ; vgl. ferner Lindenbaum-Tarski [1], S. 312ff.Google Scholar
  30. 1.
    Es ist ja nämlich denkbar, daß Cantors Vermutung unabhängig (S. 341) von den übrigen Axiomen, also unbeweisbar ist.Google Scholar
  31. 2.
    Vgl. auch den (bei Abschluß des Druckes erscheinenden) Vortrag Hilbert [10].Google Scholar
  32. 1.
    Die Argumente gegen den Wohlordnungssatz gründen sich im übrigen zum Teil, in ihrer Art folgerichtig, auf die intuitionistische Anschauung oder wenigstens auf die Ablehnung der nicht-prädikativen Bildungen, zum Teil aber auf ungerechtfertigte, namentlich mit der Antinomie Burali-Fortis zusammenhängende Bedenken. Vgl. die scharfe und witzige Zurückweisung in Zermelo [2], worauf auch wegen der Literaturangaben verwiesen werde.Google Scholar
  33. 1.
    Man vergleiche namentlich Note IV von Borel [2].Google Scholar
  34. 1.
    Vgl. z. B. Hadamards in Borel [2], S. 156ff., abgedruckten Brief.Google Scholar
  35. 1.
    Auch in der Philosophie spielt der nämliche Gedanke eine wesentliche Rolle, so z. B. in den Schulen von Kant und Fries (vgl. z. B. Dubislav [3], S. 40). Man vergleiche auch etwa D’Alemberts Ermunterung an seine Zeitgenossen, die sich der damals noch nicht hinlänglich geklärten Infinitesimalmethoden bedienten: „Allez en avant, et la foi vous viendra.“Google Scholar
  36. 2.
    Vgl. hierzu für Fragen der Mengenlehre namentlich Lindenbaum-Tarski [1] und Tarski [7], ferner Cipolla [1] und (für die Theorie des LEBESGUEschen Integrals) Tonelli [1 I] (Kap. III und IV).Google Scholar
  37. 1.
    Diese Unterscheidung zwischen Prinzipien der allgemeinen Mengenlehre und solchen spezieller Art ist naturgemäß nur vom axiomatischen Standpunkt aus möglich, nicht aber dann, wenn man sich die Mengenlehre durchweg konstruktiv aufgebaut denkt.Google Scholar
  38. 2.
    Vgl. auch die (schärfer umrissenen) Beispiele bei Becker [2], S. 98ff., sowie Scholz [2], Sp. 682f.Google Scholar
  39. 1.
    Die Nullmenge existiert nämlich, wie bemerkt, sofern nur überhaupt eine Menge existiert, d. h. schon auf Grund des Anfanges von Axiom VII. Ebenso wird durch dieses Axiom nicht etwa erst die Existenz von Mengen der Form (m) gefordert, sondern diese ist von vornherein durch die Existenz von m gesichert (Beispiel 3 auf S. 287, sowie S. 312).Google Scholar
  40. 1.
    Die Existenz der einzelnen Komplexe, die wir jetzt einfach als Mengen auffassen, muß freilich unserem nunmehrigen Standpunkt gemäß erst festgestellt werden. So bedurften wir noch des A. d. Auswahl, um die Existenz mindestens eines Komplexes überhaupt zu sichern für den Fall, daß die Nullmenge kein Element von M ist.Google Scholar
  41. 1.
    Übrigens liegt auch eine eigene, von der allgemeinen Begründung der Mengenlehre unabhängige A xiomatik der endlichen und unendlichen Kardinalzahlen vor (FraEnkel [4]). Man vergleiche ferner Baer [4].Google Scholar
  42. 1.
    Siehe Hessenberg [3], Kap. 28, und [10], S. 74; Combébiac [1] ; Kura-towski[1]; Fraenkel[9]; vgl. auch Mirimanoff [2] sowie Sierpiński [3],Google Scholar
  43. 2.
    Der Kenner vergleiche zu ihnen die allgemeineren Umgebungsaxiome (Hausdorff [3], S. 213).Google Scholar
  44. 1.
    Man könnte von vornherein statt der Anfangsstücke von m ebensogut die Endstücke oder „Reste“ bevorzugen, wie dies in der Tat in den vorhin angegebenen Schriften geschieht. Indes ist für die Theorie der Wohlordnung die vorstehende Begriffsbildung praktischer, letzten Endes deshalb, weil ja auch die Definition der wohlgeordneten Mengen selbst eine Bevorzugung der Anfangsstücke bedeutet (vgl. S. 180).Google Scholar
  45. 1.
    In dieser Festsetzung kommt die in der vorigen Fußnote erwähnte Willkür zum Ausdruck. Man könnte unter den angeführten Umständen natürlich ebensogut „b vor a“ festsetzen.Google Scholar
  46. 1.
    Eine generelle Methode zur Vermeidung der unendlichen Ordnungszahlen gibt Kuratowski [2].Google Scholar
  47. 2.
    Siehe von Neumann [1] und [6]; vgl. auch [2] und [4]. Eine für sich stehende axiomatische Einführung der Ordnungszahlen skizziert Tarski [5] ; vgl. dazu Lindenbaum-Tarski [1], § 4.Google Scholar
  48. 1.
    Enthält nämlich die Ausgangsmenge n Elemente, so hat die Potenzmenge deren 2n. Vgl. S. 107.Google Scholar
  49. 2.
    Die Begründung der Zahlenlehre mittels der Theorie spezieller, nämlich eben der „endlichen“ Mengen, wie sie z. B. auch in dem verbreiteten Lehrbuch Weber-Epstein [1] durchgeführt wird, braucht vom obigen Bedenken überhaupt nicht berührt zu werden.Google Scholar
  50. 3.
    Zur Geschichte dieser Auffassung vergleiche man etwa Weyl [7], S. 38.Google Scholar
  51. 1.
    „Quand je parle de tous les nombres entiers, je veux dire tous les nombres entiers qu’on a inventés et tous ceux qu’on pourra inventer un jour ... et c’est ce ‚l’on pourra‘ qui est l’infini.“ (Poincaré [6], S. 131.) In diesem Sonderfall wird die vorstehende Meinung freilich selbst im intuitionistischen Kreise wenig Zustimmung finden.Google Scholar
  52. 1.
    Man vergleiche auch die (freilich nicht mathematisch scharfe) Unterscheidung zwischen „vollendbaren“ und „unvollendbaren“ Mengen in dem anregenden Buche Lasker [1], vor allem aber Becker [2].Google Scholar
  53. 2.
    Ramsey [1] bemerkt treffend (S. 354), daß aus der Unmöglichkeit, ein Objekt individuell zu charakterisieren, noch keineswegs folgt, daß ein derartiges Objekt in unsere Betrachtungen nicht eingehen kann; vielmehr mag es immerhin unter den Begriff (die Menge) „aller Objekte einer gewissen Art“ als Einzelobjekt (Element) fallend zu denken sein. Eine Menge reeller Zahlen z. B. von solcher Art, daß ihre Existenz nicht anders als durch das Auswahlprinzip zu sichern wäre, geht — obgleich nicht abschließend festlegbar — dennoch in die Potenzmenge der Menge der reellen Zahlen ein als ein Element, dessen Vorhandensein unter Umständen von Bedeutung ist.Google Scholar
  54. 1.
    Daß diese Behauptung im wesentlichen zutrifft, ist recht einleuchtend, wenn auch eine bis ins Einzelne gehende Durchführung nicht vorliegt und vielleicht gewissen Schwierigkeiten begegnet, die aber mit dem Kern der Sache wenig zu tun haben.Google Scholar
  55. 2.
    Nicht aber auch der Begriff der Ordnungszahl. Die invariante Erhaltung dieses Begriffs rettet freilich einstweilen den Kardinalzahlbegriff keineswegs, da eine rein ordinale Charakterisierung der Zahlklassen (oder ihrer Anfangszahlen) — etwa im Sinne von Hilbert [9], S. 183 — außerordentlichen Schwierigkeiten begegnet. (Bemerkung von R. Baer.)Google Scholar
  56. 1.
    Man vergleiche hierzu die in mancher Hinsicht verwandte Entwicklung in der Logik hinsichtlich der Lehre von der Begriffsbildung; vgl. Fußnote 2 auf S. 59. Von der dort zitierten Darstellung Schlicks sei die folgende Bemerkung als besonders charakteristisch angeführt: „Für die strenge, Schluß an Schluß reihende Wissenschaft ist folglich der Begriff in der Tat gar nichts weiter als dasjenige, wovon gewisse Urteile ausgesagt werden können. Dadurch ist er mithin auch zu definieren.“ ([1], S. 31.) Ähnlich auch Carnap ([2], S. 4) in einem vornehmlich auf naturwissenschaftliche Begriffsbildung gemünzten Zusammenhang: „Die Bildung eines Begriffs besteht in der Aufstellung eines Gesetzes über die Verwendung eines Zeichens (z. B. eines Wortes) bei der Darstellung von Sachverhalten.“ Vgl. auch Bridgman [1].Google Scholar
  57. 2.
    Pasch [1], 1926 neuausgegeben und mit einem wesentlichen Beitrag Dehns ausgestattet. Im übrigen vergleiche man für Paschs eigenartige und originale (ausgesprochen empiristische) Behandlung der Probleme der mathematischen Grundlagenforschung auch Pasch [2]—[4] sowie die dort angeführte Literatur.Google Scholar
  58. 3.
    Hervorzuheben sind (neben Veronese [1], siehe S. 116) die Hilbert vorangehenden geometrisch-axiomatischen Arbeiten Peano [2] und besonders Pieri [1]—[3] (vgl. hierzu die Darstellung bei Russell [1] und Couturat [2]). Die Axiomatik Pieris (sowie z. B. die in Veblen [1] entwickelte) hat gegenüber Hilbert [2] den grundsätzlichen Vorzug, sich auf einem einzigen Undefinierten Grundbegriff aufzubauen.Google Scholar
  59. 1.
    Es sind indes auch nach Hilbert noch wesentlich verschiedene axiomatische Begründungen der Geometrie gegeben worden, unter denen die von F. Schur und Veblen hervorgehoben seien.Google Scholar
  60. 1.
    In diesem Sinn sind Hölders Bemerkungen (gegen Hilbert) in [3], § 117, berechtigt, freilich auch ziemlich allgemein (namentlich von Hilbert selbst) anerkannt.Google Scholar
  61. 2.
    Vgl. Keyser [3] und [5] (S. 49ff.), Weyl [7] (S. 21) und die Darstellung in dem für den erst Lernenden besonders empfehlenswerten Aufsatz Carnap [3] (S.372f).Google Scholar
  62. 1.
    Zur näheren Aufklärung über das Wesen der axiomatischen Methode im allgemeinen werde verwiesen auf Baldus [1] und [3], Bernays [2] und [7] (diese Arbeit ist bei Abschluß des Druckes erschienen), Boehm [1], Boutroux [1], Doetsch [1], Gonseth [1], Hessenberg [1] Und [5], Hilbert [6], Hölder [3], Keyser [5], Loewy [1], Natucci [1], Pasch-Dehn [1] (S. 250262), Pasch [3], Perron [2] (S. 208211), Poincaré [6], Schoenflies [6] (vgl. auch Korselt [2]), Voss [1], Weyl [7], J. W. Young [1], Zaremba [1], ferner für vorwiegend philosophische Beleuchtung auf die (recht verschiedenwertigen) Schriften Becker [2] (bes. §§ 1 und 3), Brunschvicq [1], Burali-Forti [2], Carnap [3], Cassirer [2] (S. 122ff.), Dingler [3] (1. Kap.), Dubislav [2], Enriques [1] (Kap. III) und [4], Höfler [1], Husserl [1] (S. 248ff.) und [2] (S. 135f.), London [1] (2. und 3. Kapitel; vgl. auch [2]), Padoa [2], Peano [4], Rieffert [1] (S. 145ff.), Rougier [1], Schlick [1] (§ 7), Stammler [2] (S. 27ff.), Strohal [1], Warrain [1], namentlich aber das auch für den Mathematiker aufschlußreiche Werk Geiger [1]. Ablehnend gegenüber der Axiomatik verhält sich namentlich Study (vgl. z. B. den Schlußabschnitt seiner Schrift [1]) ; die dortige Polemik trifft jedoch die Axiomatik gerade der Mengenlehre um so weniger, als ja die Mengenlehre weder auf die Arithmetik noch auf die Erfahrung gegründet werden kann und ihr intuitiv-genetischer Aufbau durch Cantor sich als unzureichend erwiesen hat.Google Scholar
  63. 1.
    In einem hier nicht näher zu erörternden Sinn kann man allerdings gewisse Axiomensysteme vor anderen manchmal auszeichnen durch die Eigenschaft, „die geringste Zahl von Sätzen“ axiomatisch zu fordern; siehe Hertz [1] und [2]. Einstweilen ist dieser Gesichtspunkt nur in Fällen verwertbar, die von finiter Art und viel zu einfach sind, um sich auf wissenschaftlich interessante Probleme auszuwirken, und einer erheblichen Ausdehnung werden sich wohl fast unüberwindliche Schwierigkeiten entgegenstellen.Google Scholar
  64. 1.
    Für die mit anderen Axiomen verknüpften Unabhängigkeitsfragen in Hilberts (erster) Axiomatik der Geometrie vergleiche man Hilbert [2] (namentlich die späteren Auflagen) sowie von neuerer Literatur etwa Baldus [2] und [4], Feigl [1] und [2], Tschetweruchin [1], Weinlös [1].Google Scholar
  65. 1.
    Vgl. etwa die Darstellungen bei Bieberbach [1] (bes. S. 392 ff.) und Baldus [3], die auch sonst den Gedankengang der gegenwärtigen und der vorigen Nummer an diesem besonders wichtigen Beispiel illustrieren.Google Scholar
  66. 1.
    Auch eine von der üblichen Auffassung abweichende Deutung der Grundrelation aεb könnte dem nämlichen Zwecke dienen, würde aber schwierigere Überlegungen erforderlich machen.Google Scholar
  67. 2.
    Siehe Fraenkel [5] und namentlich Vieler [1], wo diese Fragen eine sehr eingehende, wenn auch noch keineswegs erschöpfende Erörterung finden. Vgl. auch Lennes [1] und Kuratowski [4].Google Scholar
  68. 1.
    Diese Frage hat in der allerletzten Zeit noch eine erhöhte Bedeutung gewonnen, insofern als in Hilberts Theorie der Widerspruchsfreiheit ein mit dem Auswahlaxiom nahe verwandtes Prinzip, das logische Auswahlaxiom, eine hervorragende Rolle spielt (siehe S. 372). — Für die Beleuchtung, in der dieses Unabhängigkeitsproblem von einem zu Russell benachbarten Blickpunkt aus erscheint, vergleiche man Ramsey [1] (S. 381 f.) und Chwistek [4].Google Scholar
  69. 1.
    Zur Vermeidung von Mißverständnissen sei hervorgehoben, daß diese Vollständigkeit begrifflich nichts zu tun hat mit der, die beim „Vollständigkeitsaxiom“ (S. 356) gemeint ist; dort sind es die von den Axiomen erfaßten Objekte, hier die Axiome selbst, die keiner Erweiterung mehr fähig sein sollen. Dennoch besteht natürlich eine enge Beziehung zwischen der Aussage des Vollständigkeitsaxioms und den nachstehend erörterten Bedeutungen der Vollständigkeit eines Axiomensystems; diese Beziehung harrt im einzelnen noch der Aufklärung. Vgl. auch die in Fußnote 3 auf S. 352 angeführten Arbeiten.Google Scholar
  70. 2.
    An die Möglichkeit eines derartigen Nachweises, der über die bloße Tatsache der Unentscheidbarkeit noch wesentlich hinausginge, wird im vorliegenden Fall kaum jemand ernstlich glauben; vgl. S. 234. Für einen Weg, eine derartige Möglichkeit bindend “auszuschließen, vergleiche man den übernächsten Absatz.Google Scholar
  71. 1.
    Vgl. hierzu den nächsten Absatz. An dem anscheinenden „Monomorphismus“ (siehe dort) des Bereichs der natürlichen Zahlen liegt es, daß die Existenz eines Fermatschen Tripels in irgendeiner Arithmetik auch schon das Vorkommen eines ebensolchen in jeder anderen nach sich zieht. Doch ist auf diesem Gebiet noch manches ungeklärt und auch eine andere Auffassung als die obige möglich (vgl. S. 354).Google Scholar
  72. 2.
    Man vergleiche zu diesem Gegenstand Baer [4].Google Scholar
  73. 3.
    Der Ausdruck „isomorph“ hat hier einen erheblich allgemeineren Sinn als sonst (in der Gruppen- und Körpertheorie) üblich. In der Tat ist der Isomorphismus auf beliebige Relationen anwendbar, nicht bloß auf die als „Operationen“ bezeichneten drei- und mehrgliedrigen Relationen.Google Scholar
  74. 4.
    Die (noch nicht völlig geklärte) Frage, inwieweit dieser Vollständigkeitsbegriff seinerseits schon die Mengenlehre voraussetzt (wegen der zu benutzenden Zuordnung), möge hier außer Erörterung bleiben.Google Scholar
  75. 1.
    Diese Auffassung ist auch von größter Bedeutung für den Begriff „Ding an sich“. Wer hinter die uns allein zugängliche Erscheinungswelt das Reich der Dinge an sich setzt, muß diesen die Erscheinungen eindeutig und im angeführten Sinn isomorph zugeordnet denken, so daß wir, ohne die Dinge an sich zu kennen, über sie die für die Erscheinungen gültigen Relationen auszusagen formal berechtigt sind.Google Scholar
  76. 1.
    Die Anwendung einer theoretischen Wissenschaft auf Gegenstände der Wahrnehmung oder Erfahrung, z. B. die der reinen Geometrie auf die Punkte, Geraden usw. des physischen Raumes, gestaltet sich so — mindestens grundsätzlich — besonders einfach, insofern als nur das Erfülltsein der Axiome und nicht etwa aller einschlägigen Sätze durch geeignet zu wählende Erfahrungsbegriffe nachzuprüfen ist.Google Scholar
  77. 2.
    Die wichtigsten neueren Beispiele sind wohl Moore [1] und Steinitz [1]; besonders von letzterem Aufsatze leitet sich eine überaus nachhaltige Befruchtung der Algebra im weitesten Sinne her.Google Scholar
  78. 1.
    Vgl. Husserl [2], S. 135f. Es wird hier so formuliert, daß in einer derart definierten „Mannigfaltigkeit“ jeder in den einschlägigen Begriffen ausgedrückte Satz „entweder eine pure formallogische Folge der Axiome oder eine ebensolche Widerfolge, d. h. den Axiomen formal widersprechend“ sein muß. Hiernach werden „wahr“ und „formallogische Folge der Axiome“ zu äquivalenten Begriffen. Vgl. auch Becker [1].Google Scholar
  79. 2.
    Eine weiter herabgeminderte Bedeutung erhält die Vollständigkeit, wenn man sich hier nur auf Aussagen von niedrigstem Typus (bzw. Stufe) im Sinne des § 15 beschränkt, womit die Frage entsteht, ob dann für beliebige Aussagen Entsprechendes von selbst gilt. Auf diese keineswegs unwesentliche Unterscheidung kann hier nicht eingegangen werden.Google Scholar
  80. 3.
    Vgl. etwa Dubislav [1], Carnap [3] (sowie tiefergehende noch unveröffentlichte Arbeiten dieses Autors und A. Tarskis), Baldus [4] und Härlen [2].Google Scholar
  81. 4.
    Siehe besonders Lévy [2] und Borel [5]. Man vergleiche hierzu sowie zum vorigen Absatz etwa noch Church [1] (S. 1851), Hessenberg [3] (§§ 86ff.), Huntington [3] (S. 210). Langford [1], Wilson [1]. Die von Lévy gemachte Unterscheidung zwischen der „Gabelung“ am Parallelenaxiom einerseits, an der Transzendenz etwa von π π andererseits wirkt nicht sehr überzeugend. Beim letzten Fermatschen Satz allerdings ist jedenfalls die etwaige Unrichtigkeit auf Grund einer Zahlenidentität, also ohne eigenes Axiom sicherzustellen (im Gegensatz zum Fall des Parallelenaxioms); deshalb werden die einschlägigen Bemerkungen Borels (a. a. O.) wohl meist auf Widerspruch stoßen.Google Scholar
  82. 1.
    Wenigstens ergibt sich das leicht auf die übliche Methode, hinsichtlich deren man allerdings u. a. einwenden kann, sie sei im Kern mengentheoretisch orientiert und von der analogen Frage in der Mengenlehre mehr oder weniger abhängig. Vgl. die Fußnote 4 auf S. 349.Google Scholar
  83. 2.
    Ob dennoch ein etwa „unbeweisbarer, aber richtiger“ Satz dieser Art sich als neues Axiom dem Axiomensystem hinzufügen ließe, läßt bei der mathematischen Ungreifbarkeit der in Anführungszeichen gesetzten Worte kaum eine Erörterung zu.Google Scholar
  84. 1.
    Solche und allgemeinere Mengen („ensembles extraordinaires“) sind von Mirimanoff [1] und [2] und von Eklund [1] (vgl. dazu die — nicht stichhaltigen — Einwände von Brodén [1]) betrachtet worden; man vergleiche auch Skolem [3] (Nr. 6), Sierpiński [4] und Finsler [3] (§§8 und 15), wo die interessanten Fragen der „Struktur“ von Mengen eingehendere Erörterung finden.Google Scholar
  85. 1.
    Vgl. Hilbert [2], S. 22 und 240; Mollerup [2]; Loewy [1], S. 186f.; Geiger [1], S. 265ff ; Baldus[4].Google Scholar
  86. 1.
    Z. B. die Existenz der nichteuklidischen Geometrien, der stetigen nicht differentiierbaren Funktionen, der ein Quadrat vollkommen erfüllenden Kurven usw.Google Scholar
  87. 2.
    Die auf S. 341 erwähnten Untersuchungen von Hertz vermögen eine Einengung dieses Spielraums durch objektive Kriterien nur für die allereinfachsten Fälle anzubahnen.Google Scholar
  88. 1.
    Allerdings wird unter diesen Umständen eine neue Frage brennend, die bei der inhaltlichen Axiomatisierung im Sinne Euclids zurücktreten konnte: wie kommt es, daß wir die Ergebnisse einer formalen, axiomatisch begründeten Wissenschaft mit Erfolg auf die Fakten der äußeren Erfahrung anwenden können, mit denen jene gar keinen Zusammenhang mehr teilen? Offenbar wird man so z. B. zwischen der Geometrie als formaler mathematischer Disziplin und der Geometrie als experimentell geleiteter, innig mit der Physik verwachsener Erfahrungswissenschaft begrifflich scharf zu unterscheiden haben. Ja sogar für die Arithmetik und die Logik erhebt sich dieses Problem, insofern als die Ergebnisse der formalen Arithmetik und der symbolischen Logik nicht von vornherein für das wirkliche, inhaltliche Rechnen und Denken Gültigkeit zu bewahren brauchten. An Literatur hierzu sei etwa genannt: Burkamp [1] (bes. S. 265), Carnap [1], Langford [5], Reichenbach [1], Study [2]; vgl. auch S. 383.Google Scholar
  89. 2.
    Wenn der erste Satz noch zu kompliziert erscheint, um als Axiom zu dienen, so können an seine Stelle einfachere Axiome gesetzt werden, deren Folge er ist.Google Scholar
  90. 3.
    In Wirklichkeit bestimmen diese Sätze, wenn man jeden mit anderen Axiomen geeigneter Art verbindet, zwei durchaus verschiedene Geometrien, so daß z. B. der Begriff „Gerade“ in der ersten von anderer Art ist als in der zweiten. Jede dieser Geometrien ist für sich widerspruchslos, sie sind logisch gleichmöglich.Google Scholar
  91. 1.
    Siehe Peano [3], ferner etwa Padoa [4] und Loewy [1], S. 1ff., sowie die an beiden Stellen angeführte Literatur; vgl. dazu ferner noch Hahn [3].Google Scholar
  92. 1.
    Daß man es freilich mit dieser Evidenz vielfach (auch in der Mathematik) zu leicht genommen hat und die Folgen dann oft nicht ausgeblieben sind, beweist die Geschichte der Wissenschaft zur Genüge.Google Scholar
  93. 1.
    Als charakteristische Beispiele anderer Auffassung des Problems der Wider-spruchslosigkeit seien z. B. die (einander selbst scharf entgegengesetzten) Standpunkte Couturats und PoiNCARÉs genannt; vgl. Poincaré [5], S. 164ff. und 276.Google Scholar
  94. 1.
    Die Methode, die von Dedekind [2] zu einer rein logischen Begründung der Lehre von den ganzen Zahlen herangezogen wurde, ist Einwänden ausgesetzt, die mit den Antinomien der Mengenlehre zusammenhängen (vgl. S. 306f.).Google Scholar
  95. 1.
    Hilbert [7] — [10], ferner Ackermann [1], [2], [4] und die — besonders begrifflich und methodisch einen wesentlichen Fortschritt darstellende — Arbeit von Neumann [3] ; vgl. auch Ackermann [3], Bernays[1]—[3] (nebst Müller[2]) sowie [5] und [6], Cipolla [3] (vornehmlich kritisch), Gonseth [1] (S. 221 ff.), Grelling [3], Hilbert-Ackermann [1], B. Levi [3] und Weyl [6] und [7], besonders § 10, sowie (für Äußerungen von philosophischer Seite) Becker [2] und [3], Burkamp [1] (besonders §§ 1181) und Stammler [1] (S. 154ff.) und [2]. Siehe auch Nr. 8 (S. 376ff.). Eine weit engere Zielsetzung bei Dingler [4].Google Scholar
  96. 1.
    Angesichts der noch heute immer wieder auftretenden Mißverständnisse sei ausdrücklich hervorgehoben, däß auch schon in der inhaltlichen symbolischen Logik das Folgezeichen → die formale Implikation und nicht etwa das — weit engere — kausale oder logische Verhältnis von Grund und Folge bezeichnet; falsch. Hiermit wird das syllogistische Folgern gegenüber dem üblichen Gebrauch in der älteren Logik erweitert, während natürlich nichtsyllogistische Deduktionen wie Descartes’ Cogito ergo sum nicht darunter fallen.Google Scholar
  97. 2.
    Freilich in beliebiger Anzahl — womit schon die Induktion in die Beweistheorie eingeht (vgl. unten) !Google Scholar
  98. 3.
    Vgl. dazu Frege [2 II], §§ 86ff.Google Scholar
  99. 1.
    Daher kann man die Widerspruchsfreiheit auch so ausdrücken: Es gibt mindestens eine unbeweisbare Aussage. (Vgl. von Neumann [3], S. 14.)Google Scholar
  100. 1.
    Noch enger wird der Anschluß an das Auswahlprinzip der Mengenlehre bei der „ε-Funktion“, durch die Hilbert und seine Schule die in [8] gebrauchte τ-Funktion seither ersetzt haben. Durch diese ε-Funktion wird einer beliebigen Satzfunktion nicht mehr (vgl. oben, 2. Fall) ein Gegenbeispiel, sondern in natürlicherer und einfacherer Weise ein positives Beispiel zugeordnet. Fordert man noch durch ein besonderes Axiom, daß umfangsgleichen Satzfunktionen durch die logische Auswahlfunktion stets der nämliche Wert zugeordnet werden soll, so fallen logische und mengentheoretische Auswahlfunktion zusammen.Google Scholar
  101. 1.
    In der Tat gibt auch ein so entschieden intuitionistischer Leugner der trans-finiten Zahlen wie Borel (vgl. [2], S. 159) zu, daß sie zu richtigen und legitimen Resultaten verhelfen können, ähnlich wie die unrechtmäßigen Methoden in der Anfangszeit der Infinitesimalrechnung (vgl. d’Alemberts auf S. 305 zitiertes Wort) oder wie der Gebrauch der divergenten Reihen durch Euler, der „mit den Problemen auf Du und Du stehend“ die unrechtmäßigen Hilfsmittel in hinreichend taktvoller Weise zu benutzen wußte.Google Scholar
  102. 1.
    Damit werden die von Becker [2], S. 476482, gegen Hilberts Methode erhobenen Einwendungen hinfällig. Vgl. auch (namentlich zu Beckers Bemerkungen über die Begründung der komplexen Zahlen) Fußnote auf S. 381 und die Schilderung der sich entwickelnden Anschauungen über eine „möglichst gute“ Begründung der komplexen Zahlen usw. bei Fraenkel [2] und Stammler [1].Google Scholar
  103. 2.
    Indes wird z. B. der schon im Altertum bekannte Satz, wonach zu einer Primzahl p stets eine größere Primzahl unterhalb 2 • 3 • 5 • • • p + 2 existiert, aus einer finiten, in eine endliche Disjunktion zerlegbaren und jedesmal in endlichem Verfahren verifizierbaren Aussage zu einer transfiniten Existentialaussage, sobald man die Worte „unterhalb 2 • 3 • 5 • • • p + 2“ fortläßt; so harmlos, wie es scheint, ist also selbst die Gewinnung von Teilaussagen sicher nicht.Google Scholar
  104. 1.
    Für die in diesem Zusammenhang wesentliche Frage, was unter der Mathematik überhaupt zu verstehen ist, vgl. etwa Voss [1], S. 14ff., Weyl [7], S. 50ff. und Burkamp [1], S. 240ff., sowie die zahlreichen dortigen Literaturangaben.Google Scholar
  105. 2.
    Indes vertreten nicht etwa alle „Logistiker“ (d.h. Vertreter der symbolischen Logik, wie z. B. die italienische Schule) diese Auffassung, die ja mit dem formalen Standpunkt der Symbolik nicht notwendig verknüpft ist.Google Scholar
  106. 3.
    Für Kants Auffassung zur Mathematik überhaupt sei Bariè [1] (S. 175 bis 190) und [2] genannt.Google Scholar
  107. 1.
    Vgl. zu dieser dreifachen Gliederung Burkamp [1] (bes. V. Studie) und [2] sowie Dubislav [1], der indes den Standpunktender Intuitionisten wie auch der Logizisten wohl nicht voll gerecht wird; vor allem aber Bernays [5] (vgl. auch schon [1]).Google Scholar
  108. 1.
    Das schließt natürlich nicht aus, daß schon vor dem Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Mathematiker seine als widerspruchsfrei vermuteten Begriffe zunächst postulieren kann (und in praxi beinahe immer so verfährt). Vgl. z. B. Hessenberg [6], S. 146.Google Scholar
  109. 2.
    Auch von rein philosophischer (und speziell logizistischer) Seite wird öfters hervorgehoben, daß erst die Existenz eines Begriffs seine Widerspruchslosigkeit verbürge und nicht umgekehrt. (Vgl. z. B. die Literaturangaben bei Hölder [3], S. 114, sowie auch schon Pascals Wort: Ni la contradiction n’est marque de fausseté ni l’incontradiction n’est marque de vérité.) Doch fehlt es von dieser Seite — trotz Becker [2] und gelegentlicher Bemerkungen bei Natorp [1] und anderen — noch an einer befriedigenden Umgrenzung des Begriffs „Existenz“ in der Mathematik, soweit nicht ausdrücklich auf ein festes System, etwa das der Principia Mathematica, Bezug genommen wird. Vgl. ferner zum Existenzproblem Scholz [2].Google Scholar
  110. 1.
    Offenbar spielt für die Vorzugsstellung, die hiermit den gemeinen komplexen Zahlen zuerkannt wird, eine Hauptrolle ihre Veranschaulichung in der Gaussschen Zahlenebene. Indes steht, wie namentlich angesichts der — nicht in demselben, wohl aber in verwandtem Sinn erhobenen (auf S. 374 erwähnten) — Einwände Beckers gegenüber Hilbert betont sei, diese transient-anschauliche Begründung des Imaginären nicht nur grundsätzlich, sondern auch hinsichtlich der Verallgemeinerungsfähigkeit weit z. B. hinter der (immanent-begrifflichen) ersten CAUCHYschen Begründungsart von 1847 zurück, die sich nach Kroneckers Vorgang auf die Erweiterungen von Körpern und Ringen übertragen läßt. (Steinitz [1], S. 197. Vgl. auch Fraenkel [3], S. 155; Krull [1], S. 110; besonders Hasse [1], Abschn. III.) Gerade die von Becker [2] und [3] angeführte Charakterisierung der komplexen Zahlen durch Leibniz als „pene inter Ens et non-Ens Amphibium“, die heute doch für jede Betrachtungsart der komplexen Zahlen überholt ist, sollte ein Warnungszeichen sein, nicht jetzt anderen idealen Gebilden diese Bezeichnung allgemeingültig zu erteilen, wie dies Becker a. a. O. für die idealen Aussagen der Metamathematik tut.Google Scholar
  111. 1.
    Praktisch könnte sich demgegenüber der Formalismus vielleicht darauf berufen, er suche die formale Mathematik so einzurichten, daß den im finit-anschau-lichen Denken gültigen Gesetzen nach Möglichkeit gleichartige Bilder im Transfinit-Formalen entsprechen; ob ein etwaiges heuristisches Prinzip dieser Art aber schon die obigen grundsätzlichen Bedenken forträumen würde, darf bezweifelt werden.Google Scholar
  112. 2.
    Zu der dort genannten Literatur sei noch Feys [2] genannt (Analysen der Arbeiten Russells und Wittgensteins).Google Scholar
  113. 1.
    Vgl. den dortigen Mengenbegriff im Gegensatz zur Definition [12 I],Google Scholar
  114. 1.
    In philosophischer Hinsicht ist an erster Stelle seine „Wissenschaftslehre“ [2] zu nennen, für deren Einfluß auf die neuere Philosophie man etwa Ziehen [2], S. 173 ff., vergleiche und die auch in neuester Zeit noch nicht genügend ausgeschöpft sein dürfte, trotz der Bemühungen Korselts und anderer; auch die kleine, schon 1810 erschienene Schrift [1] bietet viel des Interessanten. In der Mathematik ist es namentlich die Lehre von den reellen Zahlen und Funktionen, die Bolzano bedeutsame Fortschritte verdankt in Punkten, wo nicht nur seine Lösung, sondern schon die Problemstellung seiner Zeit — den überragenden Gauss nicht ausgenommen — weit vorauseilte; erst die Wiederentdeckung mancher von seinen Erkenntnissen durch Weierstrass hat sie wirklich bekannt werden lassen und noch die allerjüngste Zeit hat das Ergebnis zutage gefördert, daß eine der merkwürdigsten Konstruktionen von Weierstrass — die einer stetigen, nirgends differentiierbaren Funktion — im Grunde schon im Besitz von Bolzano war. Vgl. Jasek [1] und Kowalewski [1]. Für Bolzanos Leben und Schaffen überhaupt vergleiche man Bergmann [1] und Fels [1] und [2], wo sich weitere Hinweise finden; an ersterer Stelle (S. 212ff.) auch eine ausführliche Bibliographie seiner Werke, die in einer (von einer Kommission bei der Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften besorgten) Gesamtausgabe 1928 zu erscheinen beginnen sollen.Google Scholar
  115. 1.
    Bolzano [3]. Neuerdings stellt sich heraus (vgl. Jasek [1] und weitere Forschungen dieses Autors), daß der erste Herausgeber die „Paradoxien“ stellenweise auf eigene Faust verschlimmbessert hat und daß somit manche darin enthaltene Irrtümer wohl gar nicht auf Bolzanos Rechnung zu setzen sind ; Untersuchungen hierüber sind im Gange.Google Scholar
  116. 2.
    Siehe auch den kurzen und schönen historischen Überblick Vivanti [1].Google Scholar
  117. 1.
    Vgl. namentlich Steinitz [1] und Hasse [1].Google Scholar
  118. 1.
    Auch für gewisse andere Fälle, bei denen es sich fast ausschließlich um endliche (und ausnahmsweise um abzählbare) Gesamtheiten handelt, erweisen sich die Methoden der Mengenlehre als fruchtbar; vgl. Zermelo [5], D. König [2] und Kalmár [1].Google Scholar
  119. 2.
    Anwendungen der Mengenlehre auf mathematische Physik (in einem anderen Sinn) hat Cantor schon 1882 vorhergesagt ([7 III], S. 120 f; vgl. auch Rosen-thal-Borel [1], S. 905, Fußnote 160, sowie Schoenflies [12], S. 22). — Daß gewisse Anwendungen „auf die Naturlehre der Organismen“ zwecks „einer genaueren Ergründung des Wesens des Organischen“ etwa „die eigentliche Veranlassung“ für Cantors Untersuchungen über Punktmengen geboten hätten, wie er selbst in einem Brief vom 22. September 1884 erklärt (Schoenflies [12], S. 20), wird man im Hinblick auf seine damalige Gemütsverfassung cum grano salis zu verstehen haben.Google Scholar
  120. 3.
    Hilbert [6], S. 411; [9], S. 170.Google Scholar
  121. 1.
    Whitehead [1], 2. Kapitel.Google Scholar
  122. 2.
    Vgl. Fußnote 2 auf S. 119, sowie S. 373 f.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1928

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität KielDeutschland

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