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Erschütterungen der Grundlagen und ihre Folgen

  • Adolf Fraenkel
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

Als im vorigen Paragraphen (S. 199) von Einwänden die Rede war, die gegen den Wohlordnungssatz erhoben worden sind, mag mancher Leser den Kopf geschüttelt und sich gefragt haben: sind denn Einwände gegen mathematisch bewiesene Sätze möglich, handelt es sich denn in der Mengenlehre, die doch eine mathematische Disziplin ist, um Glaubenssachen und nicht vielmehr um ein durch logisch zwingende Schlüsse errichtetes Gebäude ? In dieser Beziehung muß sich der Leser allerdings zunächst mit einer Enttäuschung abfinden: das Gebäude der Mengenlehre, wie wir es in seinen Umrissen bisher kennengelernt haben, ist in der Tat nicht vollständig sicher und unangreifbar zusammengefügt. Wir werden nämlich sehen, daß aus unserem bisherigen Mengenbegriff und seiner Verwendung logische Unstimmigkeiten, die sog. Antinomien oder Paradoxien der Mengenlehre, hergeleitet werden können — eine Tatsache, die an sich unsere Überlegungen erschüttert.

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Referenzen

  1. 1.
    Diese abstrakte Schlußweise wird dem Leser sogleich verständlich werden, wenn er versucht, sie einmal selbständig durchzudenken; er braucht nur einen der Fälle zu setzen, daß die Menge M entweder sich selbst als Element enthalte oder nicht, und wird daraus von selbst auf einen Widerspruch schließen.Google Scholar
  2. 1.
    Diese Antinomie ist von Cantor selbst schon 1895 bemerkt und erörtert worden (siehe F. Bernstein [2]). Zu Burali-Fortis Veröffentlichung vergleiche man noch Hagström [2].Google Scholar
  3. 1.
    Vgl. indes S. 229 ff.Google Scholar
  4. 2.
    Vgl. (namentlich für historische Nachweise) Rüstow [1]; man findet dort (S. 130ff.) auch ein ausführliches Verzeichnis der älteren Literatur zu den Antinomien der Mengenlehre. Der Titel „Der Lügner“ ist von dem Kreter Epimenides hergenommen, der erklärt: „ich lüge“ und der damit diese seine Behauptung einem endlosen Hin und Her zwischen Falsch und Nichtfalsch preisgibt. Man vergleiche hierzu noch Lipps [2] und Urbach [2]. Verwandte, z. T. ebenfalls aus dem Altertum stammende Paradoxien, … findet man z. B. bei Lietzmann [1]. In diesem Zusammenhang sei auch an die Scherzdefinition des Dorfbarbiers erinnert als „des Mannes im Dorf, der all die Männer im Dorf rasiert, welche sich nicht selbst rasieren“ und es daher immer verkehrt macht, mag er sich selbst rasieren oder nicht.Google Scholar
  5. 1.
    Vielleicht ist die Bemerkung nicht ganz überflüssig, daß die Frage der endlichen Darstellbarkeit nur sinnvoll ist für eine Gesamtheit von Dingen, zu deren Bezeichnung ein und dasselbe Zeichensystem verwendet werden soll. Für ein einzelnes Ding ist die endliche Darstellbarkeit völlig trivial, man kann z. B. ein willkürliches Zeichen wählen.Google Scholar
  6. 1.
    Dieser und der nachfolgende Paragraph, welche beide die vorangehenden und auch die später folgenden Abschnitte an Schwierigkeit erheblich übertreffen, können bei der erstmaligen Lektüre allenfalls überschlagen oder nur flüchtig durchblättert werden.Google Scholar
  7. 1.
    Für die Stellung zum Unendlichen innerhalb der Entwicklung des „Strengebegriffs“ in der Mathematik vergleiche man etwa den anregenden Vortrag Pierpont [2].Google Scholar
  8. 1.
    So Brouwer; Poincaré gebraucht den Ausdruck „pragmatiste“. Natürlich gibt es neben der intuitionistischen und der formalistischen Einstellung noch weitere, z.B. diejenige Cantors und die logizistische (S. 263 und 376). Der Gegensatz ist also nicht kontradiktorisch. Wenn er freilich heute meist als konträr erscheint, so ist das weniger sachlich (vgl. den Schluß dieses Paragraphen) als durch eine mehr subjektive Zuspitzung der Gegensätze zu erklären, während dem Kern der Sache nach eher der Logizismus den Gegenpol des Intuitionismus darstellt.Google Scholar
  9. 2.
    Vgl. etwa Boutroux [1] (besonders IV. Kapitel) und Becker [2], ferner auch die geistreichen historischen und psychologischen Bemerkungen Hadamards in seiner Vorrede zu Gonseth [1].Google Scholar
  10. 3.
    Das gilt schon von Kronecker; siehe z. B. Gutzmer [1], S. 592. Vgl. indes auch Cantors briefliche Bemerkung: „... es handelt sich hier gewissermaßen um eine Machtfrage ...; es wird sich fragen, welche Ideen mächtiger, umfassender und fruchtbarer sind, die Kroneckers oder die meinigen; nur der Erfolg wird nach einiger Zeit unsern Kampf entscheiden!!“ (Schoenflies [12], S. 12).Google Scholar
  11. 1.
    Der starke konventionalistische Einschlag bei Poincaré kann hier und im folgenden außer Betracht bleiben; seine Auswirkung beschränkt sich im wesentlichen auf das Gebiet der Geometrie.Google Scholar
  12. 2.
    Unter Brouwers intuitionistisch gerichteten Schülern haben Heyting [1]—[3] und de Loor [1] Beiträge zur wirklichen Entwicklung der Mathematik nach intuitionistischen Grundsätzen geliefert; von Brouwers eigenen Arbeiten in dieser Richtung sind außer den in der nächsten Fußnote angeführten (ganz besonders [10] und [14]) noch die Noten zu erwähnen, die in den Proceedings der Kon. Akad. van Wetensch. te Amsterdam, Bd. 27, S. 189–193 und 644–646 (1924); Bd. 28, S. 503–508 (1925); Bd. 29, S. 855–863 und 866f. (1926) erschienen sind. Zu nennen sind ferner Skolem [5] und Weyl [5] sowie die Fußnote 2 auf S. 115 von Menger [1]; die genannte Arbeit Skolems ist nicht restlos im radikal intuitionistischen Sinn durchgeführt.Google Scholar
  13. 1.
    An Literatur zur grundsätzlichen Seite des Intuitionismus, namentlich des Brouwerschen, (z. T. verbunden mit intuitionistischer Bearbeitung mathematischer Disziplinen und Einzelprobleme) werde angeführt (vgl. auch die vorangehende Fußnote): Baldus [1], Borel [2] (Note IV), [4] und [5], Brouwer [1]—[3] und [7]—[19], Dresden [1] und [2], Enriques [2], Fraenkel [7] und [10], Gonseth [1], Haalmeijer-Schogt M [1], Lebesgue [4], Lusin [1] und [2], Poincaré [3], [5] und [6], Skolem [3], Wavre [1]—[3], Weyl [1]—[7]. Man vergleiche auch die Literatur zum Auswahlprinzip, siehe S. 302f. Die Hauptarbeiten Brouwers sind leider sehr schwer verständlich, ihre wesentlichen Gedanken daher vorwiegend durch andere der angegebenen Arbeiten in weitere Kreise gedrungen; daß Brouwer diese seine Interpretationen — auch die durch Weyl — meist nicht als authentisch anerkennt, ist ein unter diesen Umständen unvermeidlicher Übelstand. Von Schriften mit ausgesprochen philosophischer Tendenz seien Becker [1] (besonders S.403–419) und [2], Betsch [1], Burkamp [2] und Dubislav [1] genannt; eine ausführliche Behandlung im philosophischen Sinn durch Scholz ist in Vorbereitung. Schließlich sei ausdrücklich auf das frühzeitige Auftreten verwandter Gedanken bei Hölder (siehe z. B. [3], S. 193f.) und Pasch (vgl. [2 II] und [1 2], S. VII) hingewiesen. An kritischen Stimmen seien hier F. Bernstein [5], Hilbert [7]—[10], Hölder [4], Levy [1] und [2], Ramsey [1], Zermelo [2] genannt, ferner Barzin-Errera [1], wozu aber Church [2] zu vergleichen ist; im übrigen ist auf den Schluß von § 18 (S. 377ff.) zu verweisen.Google Scholar
  14. 1.
    Für die intuitionistische Beleuchtung des Auswahlprinzips vgl. man namentlich Lusin [2], S. 81f. Es verdient Hervorhebung, daß Poincaré das Auswahlprinzip (wenn auch nicht den Beweis des Wohlordnungssatzes) anerkannte, wie er überhaupt hinsichtlich des mathematischen Existenzbegriffes die formalistische Auffassung (Existenz = Widerspruchsfreiheit, siehe S. 380) geteilt hat; vgl. Poin-caré [5], S. 165.Google Scholar
  15. 1.
    Allerdings kann man hierauf entgegnen: das Fiasko liegt möglicherweise daran, daß die Entscheidung des Kontinuumproblems vielleicht von den bekannten Axiomen der Mathematik (einschl. Mengenlehre) unabhängig ist (vgl. S. 375).Google Scholar
  16. 2.
    Im Einklang hiermit erblickt die philosophisch-phänomenologische Einstellung Beckers ([2], S. 442) nur in der intuitionistischen Wissenschaft eine „sachliche“ Mathematik, „die allein wirkliche Phänomene entdeckt, die originärer und adäquater Anschauung zugänglich und existentialer Auslegung fähig sind“.Google Scholar
  17. 1.
    Zwischen diesen Beispielen besteht der folgende hier nicht ausschlaggebende, aber doch erwähnenswerte Unterschied: Im ersten und zweiten Beispiel ist prinzipiell für jede einzelne natürliche Zahl n durch eine endliche (nur von n abhängige) Anzahl von Versuchen (numerisches Rechnen!) zu entscheiden, ob n die Eigenschaft E besitzt oder nicht; praktisch ist eine derartige Entscheidung bei einigermaßen großen Zahlen n freilich undurchführbar, weil namentlich beim ersten Beispiel die für die notwendigen Rechnungen erforderliche Zeit ziemlich bald nach Jahrtausenden und noch größeren Zeiträumen zu bemessen wäre. Im dritten Beispiel dagegen ist schon für eine einzelne Zahl n die Lösung auf dem Weg des Probierens nicht möglich, weil man alle natürlichen Zahlen x, y, z durchprobiert haben müßte, um die Unmöglichkeit einer Beziehung der Form x n+2 + y n+2 = z n+2 behaupten zu können.Google Scholar
  18. 2.
    Die Verneinung der Frage, ob es Zahlen der Eigenschaft E gibt, für dieses Beispiel stellt die Aussage des „letzten FERMATschen Theorems“ dar, dessen Beweis (oder Widerlegung durch Angabe einer Zahl n bzw. aller Zahlen n von der Eigenschaft E) das Ziel der vergeblichen Bemühungen vieler der hervorragendsten Mathematiker seit mehr als zwei Jahrhunderten darstellt. Namentlich infolge eines auf seinen Beweis oder seine vollständige Widerlegung ausgesetzten Preises von 100000 M, der inzwischen freilich durch die Inflation gegenstandslos geworden ist, hat dieser Satz neuerdings auch das Interesse vieler Nichtmathematiker auf sich gezogen.Google Scholar
  19. 1.
    Man vergleiche auch die Kritik dieses Satzes bei J. König [5]; ferner (besonders zur Frage der Evidenz des Satzes) Pichler [1]. Demnächst soll eine Arbeit von Dörge und Dubislav zum tertium non datur erscheinen. Siehe ferner Carnap [3], S. 364 und 367, Burkamp [2] und Härlen [2]. Ein logischer Widerspruch kann — entgegen Barzin-Errera [1] — mit dem bloßen Ausschluß des tertium non datur aus der Reihe der logischen Prinzipien keinesfalls verbunden sein; denn hiermit wird ja das Operationsfeld der Logik und damit der Kreis der zulässigen Aussagen einer bloßen Einschränkung unterworfen. Aber auch wenn man weitergeht und an Stelle des tertium non datur ein entgegengesetztes Axiom bestimmter Art in die Logik einführt, so wird man, wie Church [2] treffend ausführt, nicht von vornherein auf einen Widerspruch zu stoßen brauchen, vorausgesetzt, daß man den bei solchem Vorgehen naturgegebenen axiomatisch-formalistischen Weg (vgl. §§16 und 18) einschlägt: man hat dann ein „Tertium“ zwischen den Begriffen „Wahr“ und ,»Falsch“ als neuen Undefinierten logischen Grundbegriff einzuführen und geeigneten Axiomen zu unterwerfen. Eine derartige, von der üblichen völlig abweichende Logik kann sehr wohl neben der von Aristoteles überkommenen widerspruchsfrei sein, wie ja auch die Möglichkeit der Nichteuklidischen Geometrien nicht etwa einen Widerspruch in der gewöhnlichen Euklidischen zur Voraussetzung hat. — Man vergleiche auch Vasiliev [1].Google Scholar
  20. 2.
    Ohne allgemeineren kritischen Bemerkungen (vgl. besonders den Schluß von § 18) vorzugreifen, sei doch hierzu bemerkt, daß diese dem Intuitionisten vorschwebende Dreizahl von Möglichkeiten keineswegs drei gleichberechtigte Fälle darstellt, weder beim vorliegenden noch bei irgend einem anderen Problem. Im ersten wie im zweiten Fall liegt nämlich eine Sachlage vor, die objektiv gültig ist, die für jeden sich mit Mathematik beschäftigenden Kulturkreis oder „in jeder möglichen der Welten“, ja selbst für übernatürliche Wesen sich unverändert verhält; die dritte Möglichkeit dagegen ist lediglich von subjektiver, einstweiliger Art, fällt für mathematisch hinreichend vollkommene Wesen fort und ist auch für uns nur provisorisch in dem Sinn, daß sie jederzeit auf Grund eines mathematischen Beweises ausscheiden kann. Daß an Stelle jeder derart sich klärenden Frage immer wieder, wie Brouwer ([13], S. 210) betont, andere offene Probleme angeführt werden können, ändert nichts an der Tatsache, daß jede Koordination der geschilderten drei Fälle als künstlich erscheinen muß.Google Scholar
  21. 1.
    Eine philosophische Kritik an der folgenden Argumentation Brouwers findet man bei Burkamp [2], S. 79f.Google Scholar
  22. 2.
    Dabei ist vorausgesetzt, daß die betreffende Eigenschaft für alle Individuen der betrachteten Gesamtheit überhaupt sinnvoll (wahr oder falsch) ist, wie dies für die Eigenschaft „farbig“ bei Kugeln zutrifft. Ob diese Bedingung z. B. auch für die Eigenschaft „imprädikabel“ (S. 213) zutrifft, wird vielfach nicht ohne Grund bezweifelt; dann ist natürlich auch die dort an den Begriff „imprädikabel“ geknüpfte Disjunktion fragwürdig.Google Scholar
  23. 1.
    Anders die Darstellung bei Becker [2] (S. 450), wo wohl — wie in einigen anderen Punkten — eine mißverständliche Auffassung Brouwers zugrunde liegt.Google Scholar
  24. 2.
    Konsequenterweise knüpft Brouwer [18] die Anwendbarkeit des tertium non datur in der Naturwissenschaft an die Voraussetzungen der Endlichkeit und des atomistischen Baues des Weltalls, wobei überdies nur eine im intuitionistischen Sinne gereinigte Mathematik als wissenschaftliches Hilfsmittel zulässig wäre.Google Scholar
  25. 1.
    Mit Recht hebt Hessenberg [3] (S. 609) hervor, daß die Endlichkeit des zur Entscheidung führenden Verfahrens angesichts der Natur unseres Denkens eigentlich selbstverständlich ist; auch die Transzendenz von π z. B. wird ja nicht etwa geführt mittels einer Durchmusterung aller unendlichvielen algebraischen Gleichungen und des Nachweises, daß keine einzige unter ihnen π zur Wurzel besitzt, sondern durch eine endliche Kette von Schlüssen. Eine solche Zusammenfassung unendlicher Prozesse zu einem oder endlichvielen Schritten ist gerade typisch für die Mathematik. Freilich können in den axiomatischen Voraussetzungen (z. B. beim Auswahlprinzip, S. 283) unter Umständen unendliche Prozesse enthalten sein, die, wenn nicht unter Benutzung eines „Gesetzes“ auf endliche Prozesse zurückführbar, von dem Intuitionisten abgelehnt werden.Google Scholar
  26. 2.
    Hiermit sind natürlich nicht die Fälle gemeint, wo die Unabhängigkeit einer Aussage A (etwa des Parallelenaxioms) von den übrigen Grundtatsachen des Gebietes (etwa der Geometrie) beweisbar ist und somit entweder A oder auch die Negation davon postuliert werden kann (§ 18, Nr. 2). In solchen Fällen ist es kaum zweckmäßig, von Unentscheidbarkeit zu sprechen, da die Annahme oder Ablehnung von A vielmehr das betrachtete Wissensgebiet erst vollends festlegt, also deflnitorischen Charakter trägt. Vgl. § 18, Nrn. 1 und 4.Google Scholar
  27. 3.
    Siehe indes die erstaunliche Bemerkung Lusin [1], S. 1572.Google Scholar
  28. 1.
    In vielen Fällen ist auch die etwaige Unlösbarkeit keinesfalls erweisbar, wie man einsehen kann mittels eines Gedankengangs, der freilich von Intuitionisten beanstandet würde. Daß z. B. für die im nächsten Absatz behandelte Menge von von Primzahlen die Entscheidung unmöglich sei, ob sie mehr als fünf Elemente enthält, wird man nie beweisen können; wenn sie mehr als fünf Elemente enthält, so ist das ja sicher in einem zwar nicht beschränkten, aber doch endlichen Verfahren nachweisbar; ein vermeintlicher Beweis der Unlösbarkeit zeigte also vielmehr, daß sie nur fünf Elemente enthält. In anderen Fällen freilich braucht von vornherein kein Widersinn in der Vorstellung zu liegen, die Unlösbarkeit eines Problems könnte sogar beweisbar sein; (vgl. Levy [1] und [2] und Wavre [3] sowie für den ganzen Fragenkomplex Hessenberg [3], Abschn. XXII).; es liegt dann aber wohl stets der in der vorletzten Fußnote erwähnte Sachverhalt vor. Indes wird ein solcher bei den hier geschilderten Beispielen — oder auch bei einem Problem wie dem, ob die reelle Zahl 2√2 (oder 2π) algebraisch oder transzendent ist — kaum eintreten können, da es sich hier durchweg um Fragen aus mathematischen Disziplinen handelt, die als „kategorisch“ oder „monomorph“ festgelegt gelten; für die hiermit angeschnittenen schwierigen Fragen vergleiche man S. 347ff.Google Scholar
  29. 1.
    Fünf solche Primzahlen gibt es jedenfalls, nämlich 3, 5, 17, 257, 65537 (für n = 1, 2, 4, 8, 16); weitere sind nicht bekannt.Google Scholar
  30. 2.
    Die Ausdrucksweise folgt Becker [1] (S. 403ff.), dessen Übersicht indes die vorhandenen Meinungsverschiedenheiten über den Mengenbegriff doch nur teilweise und auch nicht ausnahmslos zutreffend erfaßt.Google Scholar
  31. 1.
    Siehe Fußnote 2 auf S. 236.Google Scholar
  32. 1.
    Daß man die Gesamtheit der reellen Zahlen rein arithmetisch erhalten und somit das Kontinuum arithmetisch erzeugen könne, hat Hölder bemerkenswerterweise schon seit 1892 verneint, also zu einer Zeit, wo die Kritik daran noch keineswegs wie heute in der Luft lag (vgl. Hölder [3], S. 193f., 349ff., 357, 556). Konsequent (nämlich intuitionistisch) urteilt Hölder denn auch (S. 548), „daß man bei einem rein logischen Aufbau, der vom Begriff des Kontinuums keinen Gebrauch macht, entweder im Gebiet des Abzählbaren stecken bleibt oder in gewissermaßen uferlose Begriffe hinübergleitet, die nicht als ‚klar und deutlich‛ anerkannt werden können“. Wenn freilich der nämliche Forscher (vgl. auch etwa Borel [2], Note IV, besonders S. 177, und namentlich Lusin [2], S. 33) nun dennoch das Kontinuum axiomatisch festlegt und als eine (etwa apriorische) Urform anerkennt, die, obgleich nicht vom Denken schrittweise erzeugt, doch Gegenstand des Denkens werden könne, so ist für ihn (wie für die meisten Gegner des Intuitionismus) hier offenbar die Erwägung maßgebend, daß unter den Mathematikern „die wenigsten bereit sein werden, auf die Teilgebiete der Mathematik, die vom Kontinuum Gebrauch machen, zu verzichten“. In dieser Stellung zum Kontinuum dürfte aber vielmehr ein Durchhauen des Knotens als seine Lösung liegen. Denn ein philosophischer Extrafreibrief für das Kontinuum als „reine Anschauung a priori“ oder „Platonische Idee“ erscheint wenig vertrauenswürdig nach den Erfahrungen, die auf diesem Gebiet z. B. mit dem Parallelenaxiom („Notwendigkeit“ der euklidischen Geometrie) gemacht worden sind. Vom rein mathematischen Standpunkt aus ist es aber noch durchaus unsicher, ob die mit dem Kontinuum verbundenen, beim gegenwärtigen Stand der Forschungen Hilberts und seiner Schüler noch keineswegs gelösten Schwierigkeiten von geringerer Größenordnung sind als z. B. die mit dem Begriff der Potenzmenge (vgl. besonders S. 326ff.) verknüpften, einem Begriff, der bereits unendlich-viele transfinite Mächtigkeiten zu legitimieren gestattet.Google Scholar
  33. 1.
    Cantors Diagonalverfahren (S. 46) wird für diesen Standpunkt nicht bedeutungslos, wenn es auch in etwas anderem Lichte erscheint, nämlich den Begriff der nichtabzählbaren Menge als vorwiegend negativ erscheinen läßt (Borel [2], Note IV; Lusin [2]; vgl. auch Brouwer [3]); das Kontinuum erweist sich danach als eine Menge, von der zwar immer nur abzählbar unendliche Teilmengen angebbar sind, für die sich aber zu jeder derartigen Teilmenge immer noch weitere Elemente bestimmen lassen, und zwar durch im voraus festlegbare Konstruktionen.Google Scholar
  34. 1.
    Vgl. hierzu auch Hjelmslev [1], namentlich den dritten Vortrag.Google Scholar
  35. 1.
    Diese Auffassung läßt begreifen, in welchem Sinne man die intuitionistische Mathematik als eine Synthese zwischen „Präzisionsmathematik“ und „Approximationsmathematik“ (F. Klein) ansprechen kann.Google Scholar
  36. 1.
    Man vergleiche folgenden Epilog Weyls ([4], S. 70): „Die neue Auffassung, sieht man, bringt sehr weitgehende Einschränkungen mit sich gegenüber der ins Vage hinausschwärmenden Allgemeinheit, an welche uns die bisherige Analysis in den letzten Jahrzehnten gewöhnt hat. Wir müssen von neuem Bescheidenheit lernen. Den Himmel wollten wir stürmen und haben nur Nebel auf Nebel getürmt, die niemanden tragen, der ernsthaft auf ihnen zu stehen versucht. Was haltbar bleibt, könnte auf den ersten Blick so geringfügig erscheinen, daß die Möglichkeit der Analysis überhaupt in Frage gestellt ist; dieser Pessimismus ist jedoch unbegründet.... Aber daran muß man mit aller Energie festhalten: die Mathematik ist ganz und gar, sogar den logischen Formen nach, in denen sie sich bewegt, abhängig vom Wesen der natürlichen Zahl.“ Google Scholar
  37. 2.
    Beckers Versuch, sogar den transfiniten Ordnungszahlen ein unmittelbar anschauliches Fundament zu geben, wird freilich auch bei den Intuitionisten schwerlich Anklang finden.Google Scholar
  38. 1.
    Es erscheint freilich zweifelhaft oder zum mindesten von einer tieferen Analyse des Begriffs „Verifikation“ abhängig, ob neben den „realen“ auch die nicht-transfiniten „idealen“ Aussagen der Mathematik (vgl. S. 374) als gleichermaßen verifizierbar und damit als legitim im Sinne Poincarés gelten dürften. Auch in der theoretischen Naturwissenschaft lassen sich ja die (idealen) Behauptungen nicht einzeln experimentell nachprüfen, sondern nur als Glieder einer ganzen Theorie.Google Scholar
  39. 1.
    Es sind freilich auch ganz andersartige, rechtmäßige Fälle denkbar, in denen die zirkelhafte Verknüpfung nur scheinbar ist; etwa wenn x durch die Gleichung x — 5 x — 7 festgelegt wird.Google Scholar
  40. 1.
    Vgl. auch die von Scholz [1] angegebene Charakterisierung.Google Scholar
  41. 2.
    Russell [3]; Whitehead-Russell [1 I 2], S. 58.Google Scholar
  42. 1.
    Leser, die mit den nachfolgend benutzten algebraischen und analytischen Begriffen nicht vertraut sind, mögen diesen und die beiden nächsten Absätze überschlagen.Google Scholar
  43. 1.
    Übrigens ist keineswegs mit jedem Fall, wo eine Konstruktion unmöglich ist, ein nicht-prädikatives Verfahren verknüpft; man kann daher diese Verfahren sehr wohl ablehnen, ohne deshalb konsequenter Intuitionist sein und demgemäß alle reinen Existenzsätze verwerfen zu müssen (S. 226). So hat ja gerade Poincaré die typischeste aller Existentialaussagen, nämlich die Behauptung des Auswahlaxioms (S. 283), bejaht und sogar als synthetisches Urteil a priori angesprochen.Google Scholar
  44. 1.
    Wenn man nämlich „nichtabzählbare Menge“ als einen rein negativen Begriff ansieht, also den erwähnten Hilfssatz nicht auffaßt als „die Menge aller reellen Zahlen läßt sich nicht abzählen“, sondern etwa als „eine abzählbare Menge kann keinesfalls die sämtlichen reellen Zahlen umfassen“, so wird hiermit jedermann einverstanden sein.Google Scholar
  45. 2.
    Schon aus diesem Grund, ganz abgesehen von der Rücksicht auf den Intuitionismus, sollte man, wie mir scheint, unter den Gegnern der Mengenlehre einen wesentlichen Unterschied machen zwischen den Leugnern des aktualen Unendlichgroßen überhaupt und den Bekämpfern des Überabzählbar-Unendlichen (anders der im übrigen sehr instruktive Aufsatz Bernstein [5]). Die ersteren werden vornehmlich durch Bedenken allgemein philosophischer Art (den Intuitionismus bestimmter Prägung eingeschlossen) oder auch nur durch Mißverständnisse zu ihrem ablehnenden Standpunkt gebracht. Den letzteren hingegen wird auch der überzeugte und enthusiastische Anhänger der Cantorschen (oder axiomatischen) Mengenlehre zugestehen müssen, daß ihre Bedenken zu einem größeren oder kleineren Teil aus zwingenden mathematischen Erwägungen hervorgehen und einer — übrigens wohl noch nicht endgültig geglückten — Widerlegung mit feingeschmiedeten mathematischen Waffen bedürfen.Google Scholar
  46. 1.
    Das grandiose Hauptwerk sind die bisher dreibändigen Principia Mathematica (Whitehead-Russell [1]); vgl. auch Russell [3], [4], [6]. Von älteren (z. T. überholten) einschlägigen Arbeiten Russells seien außer [1] und [2] noch die in Mind, Bd. 14. 1905; Revue de Métaph. et de Mor., Bd. 13/14, 1905/6 und namentlich im Amer Journ. of Math., Bd. 28, 1906 erschienenen genannt. Vgl. auch Couturat [3], Jourdain [4] und Nicod [2] sowie namentlich die Darstellungen bei Behmann [2] (ungedruckt), Carnap [4], Cipolla [2], Natucci [1] (Kap. 1926) und Ramsey [1].Google Scholar
  47. 2.
    Daß es in der Mathematik nicht sowohl auf die Eigenschaften als auf ihre „Umfänge“ (Extensionen, Wertverläufe), d. h. auf die Mengen ankommt, ist als der „Umfangscharakter“ (extensionality) der Mathematik stark zu betonen vgl. Ramsey [1]. S. 348ff., sowie nachstehend S. 255ff.).Google Scholar
  48. 1.
    „Satz“ ist hier natürlich nicht grammatisch, sondern im Sinn von „Behauptung“ oder „Aussage“ zu verstehen, wobei es auf den Inhalt und nicht etwa auf die durch die Umstände bedingte Einkleidung ankommt; gebräuchlich ist auch die längere Bezeichnung „Aussagefunktion“. Die Theorie der Satzfunktionen rührt schon wesentlich von Frege her. — Die gewöhnlich in der Mathematik verwendeten Funktionen kann man demgegenüber als Gegenstandsfunktionen bezeichnen, weil sie bei Werteinsetzung für die Veränderliche(n) in „Gegenstände“ übergehen, wie die Satzfunktionen in Sätze.Google Scholar
  49. 1.
    Dafür tritt dann (vgl. besonders Carnap [4]) die schon von Frege gemachte Unterscheidung zwischen dem (intensionalen) „Sinn“ und der (extensionalen) „Bedeutung“ eines Begriffs, d. h. einer Satzfunktion, ein.Google Scholar
  50. 2.
    Das hängt, wie hier nur angedeutet sei, wesentlich damit zusammen, daß nach Russell das logisch Ursprüngliche nicht die Satzfunktionen und nicht die Dinge, sondern die Sätze sind. Eine Satzfunktion f (x) entsteht erst dadurch, daß in einem Satz ein Zeichen — d. h. ein Teilzeichen, insofern als die Sätze die eigentlichen Zeichen stellen — veränderlich gesetzt wird. Darnach ist offenbar f (f) sinnlos, weil das herausgenommene Teilzeichen sonst übereinstimmen müßte mit der „Leerform“, die eben durch seine Herausnahme entsteht.Google Scholar
  51. 3.
    Russell hat in diesem Sinn eine tiefgehende Analyse der Sprache durchgeführt, die vornehmlich auf Eigenschaften (Prädikate) und Relationen zielt und überraschende Bemerkungen zur Grammatik enthält (vgl. besonders [5]).Google Scholar
  52. 1.
    Vgl. nach dieser Richtung auch Skolem [4].Google Scholar
  53. 1.
    Es ist bemerkenswert, daß schon Cantor ([7 V], S. 569) diese Tatsache klar erkannt hat, wenn er auch keine weiteren Folgerungen aus ihr zog.Google Scholar
  54. 1.
    Vgl. S. 254 ff. Schon die „endliche Definierbarkeit“ z. B. ist offenbar eine dem bloßen Umfang der betreffenden Satzfunktion oder Menge entsprechende Eigenschaft; beim Übergang zu einer umfangsgleichen Funktion kann sie sehr wohl verlorengehen.Google Scholar
  55. 2.
    Während des Druckes dieses Buches ist ein Beweis für diese Meinung (und damit a fortiori (ür die Unabhängigkeit des Reduzibilitätsaxioms) erschienen: Waismann [1]; er ist indes nicht einwandfrei.Google Scholar
  56. 1.
    Man kann freilich auch die Meinung vertreten, daß alle Sätze der Logik tauto logisch seien, etwa in dem Sinn, daß sie solchen Satzfunktionen entsprechen, die für jede zulässige Wahl der Argumentwerte stets wahre Sätze liefern. Man muß dann den als Mathematik angesprochenen Teil der Logik in anderer Weise charakterisieren.Google Scholar
  57. 2.
    Der Gebrauch des Wortes „logistisch“ ist nicht einheitlich (vgl. etwa Ziehen [2], S. 173 und Lewis [1], S. 340ff.); namentlich wird damit bald mehr die oben hervorgehobene wesensmäßige Anschauung, bald mehr die formale Seite der begriffsschriftlichen Methoden (Algebra der Logik, symbolische Logik usw.) bezeichnet. Für die grundsätzliche, die Grundlegung der Mathematik betreffende Einstellung Russells (vgl. auch S. 376) verwenden wir meist den Ausdruck „logi-zistisch“.Google Scholar
  58. 1.
    Es genüge hier — gleichzeitig für den bisher behandelten Problemkreis und für die in den nächsten Absätzen genannten formalen Fragen — neben Schröder [2] und Frege [2] sowie der schon erwähnten Literatur noch Peano [3] und Huntington [2] zu nennen (vgl. dazu Frink [1], Skolem [1], Taylor [1] und [2], Yule [1]), ferner (zur ersten Einführung für Mathematiker bzw. Philosophen) Gonseth [1] und Weyl [7] bzw. Mally [1], als tiefergehende, moderne und kurze Darstellungen Behmann [3], Bernays [5], Carnap [4] und Zaremba [2]; auch Couturat [2] (und [3]) ist, wiewohl teilweise überholt, immer noch empfehlenswert, besonders da er im Gegensatz zu den bisher vorliegenden Bänden der Principia Mathematica auch die Geometrie als Teil der Logik behandelt. Im übrigen werde für Literaturangaben vor allem auf das historisch wie sachlich vorzügliche und mit erschöpfendem Literaturverzeichnis (bis 1918) versehene Werk Lewis [1] verwiesen. Von den darnach erschienenen einschlägigen Arbeiten seien (außer den an anderer Stelle dieses und des nächsten Kapitels, bes. in § 18 [namentlich S. 366], genannten) erwähnt: Bell [1], Bernays [4], B. A. Bernstein [1]—[5], Burali-Forti [3], Chadwick [1] und [2], Clauberg-Dubislav [1], Eaton [1], Feys [1], van Horn [1], Johnson [1], Keyser [6], Langer [1] und [2], Langford [2]—[7], Lewis [2], Łukasiewicz [1], Nicod [1], [4] und [5], Post [1], Rieffert [1] (3. Teil), L. J. Russell [1], Shaw [1], Sheffer [3], H.B. Smith [1], Tajtelbaum-Tarski [2], Wiener [1] sowie für einen historischen Überblick in weiterem Rahmen Enriques [4]. An vorwiegend kritischen Äußerungen zur Logistik mögen Boutroux [1], Brunschvicq [1] (Kap. 18f.), Cassirer [1], Enriques [1], Fechner [1], Hölder [3], Joseph [1], Luquet [1], Mannoury [1] (S. 129154), Pfänder [1] (besonders S. 430f.), Poincaré [5] (vgl. Vorovka [1]), Smart [1] (vgl. auch [2]) angeführt werden; besonders hervorgehoben sei die kritische Beurteilung der Gesamtmethode und wichtiger Einzelprobleme bei Burkamp [1], wo man auch eine gerechte Würdigung der viel zu wenig beachteten Verdienste Freges auf rein logischem Gebiet findet. Für die Leistungen von Leibniz auf dem Gebiete der Symbolik überhaupt werde auf Cajori [1], Mahnke [2] und die dort angeführte Literatur verwiesen. Schließlich seien von der intuitionistischen Logistik (vgl. S. 231 ff.) namentlich Becker [2] (S. 494ff. und 775ff.), Brouwer [18], Lévy [1] und [2], Wavre [2] und [3] hervorgehoben. — Bei Abschluß des Druckes erscheint noch Stammler [2].Google Scholar
  59. 1.
    Vgl. (neben der schon angeführten Literatur) besonders das Vorwort zu Russell [8].Google Scholar
  60. 2.
    In vollem Gegensatz hierzu steht die rein „idealistische“ Auffassung in Kort-mulder [1].Google Scholar
  61. 3.
    Man kann formal diese Grundbegriffe auf einen einzigen (für gewöhnlich als abgeleitet auftretenden), nämlich auf „unverträglich mit —“ zurückführen (Sheffer [1]; zu diesem wichtigen Aufsatz vergleiche man noch Dines [1], Schönfinkel [1], Tajtelbaum [1] und Taylor [3]). Ebenso läßt sich „es gibt“ mittels der Negation unmittelbar auf „alle“ zurückführen. Das ist freilich nur vom axiomatischen Standpunkt aus von Bedeutung, für den die Reduktion der Zahl der Grundrelationen methodisch erstrebenswert erscheint (vgl. S. 343).Google Scholar
  62. 1.
    Vgl. hierzu auch etwa Finsler [2] und Post [2].Google Scholar
  63. 2.
    Der logistischen Begründung der Arithmetik (unter Mitberücksichtigung der transfiniten Kardinalzahlen) ist speziell Behmann [2] gewidmet.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1928

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität KielDeutschland

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