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Ordnungstypen und Ordnungszahlen

  • Adolf Fraenkel
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

All unsere bisherigen Überlegungen haben an den Begriff der unendlichen Menge nur in der einen Richtung angeknüpft, daß wir uns mit den Kardinalzahlen der Mengen beschäftigt haben, d. h. mit dem, was je allen untereinander äquivalenten Mengen gemeinsam ist. Da in der ersten Hälfte des vorliegenden Buches der Hauptnachdruck darauf gelegt ist, dem Leser die Möglichkeit der Einführung „unendlichgroßer Zahlen“ und ihrer vernünftigen und fruchtbaren Verwendung vor Augen zu führen, so erscheint diese Hervorhebung des Äquivalenzbegriffs als berechtigt; denn in den unendlichen Kardinalzahlen, ihrer Vergleichung und dem Rechnen mit ihnen haben wir eine besonders einfache und wichtige Klasse solcher Zahlen und ihre Eigenschaften kennengelernt.

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Referenzen

  1. 1.
    Der Begriff „geordnete Menge“ ist hier ausschließlich in dem nachstehend präzisierten mathematischen Sinn (auf Grund einer einheitlichen Anordnungsrelation) zu verstehen; in allgemein-philosophischer Betrachtung wird der Begriff einer geordneten Mannigfaltigkeit vielfach weiter gebraucht, z. B. auch für die (nicht ausdrücklich in bestimmter Weise geordnete) Gesamtheit aller Punkte des Raumes. Vgl. Burkamp [1], S. 249.Google Scholar
  2. 1.
    Dem widerspricht nicht notwendig die von Fettweis [1] angeführte Tatsache, daß sich beim Kind wie auch bei den Naturvölkern Ordnungszahl und Kardinalzahl gleichzeitig bilden.Google Scholar
  3. 1.
    Vgl. das Beispiel 1 auf S. 128. Beweise für diese Tatsache, die in ihrer Bedeutung zuerst wohl Schröder [1] erkannt, indes als empirisches Ergebnis gedeutet hat, findet man z. B. in den oben zitierten Schriften von Hölder und Loewy, sowie bei Pringsheim [1], S. 15ff. Um einem Mißverständnis vorzubeugen, sei hervorgehoben, daß man in der Arithmetik nicht etwa auf den Begriff der endlichen Kardinalzahl (zugunsten der Ordnungszahl) gänzlich verzichten kann, worauf besonders nachdrücklich Hölder a. a. O. hingewiesen hat (vgl. auch Hölder [3], S. 161ff., sowie etwa die Bemerkung bei Ramsey [1], S. 348). Man vergleiche ferner für die einschlägigen, den endlichen Zahlbegriff betreffenden Fragen etwa noch Couturat[2], Dedekind[2], Frege[1] und [2], Hessenberg [11], Russell [5] sowie die (von mathematischer Seite nicht in allem zu billigenden) philosophischen Standpunkte von Heymans [1] und Natorp [1], ferner Spaier [1].Google Scholar
  4. 1.
    Es verhält sich also, wie für den Kundigen bemerkt sei, mit dem Gegensatz zwischen Äquivalenz- und Ordnungstheorie analog wie mit dem zwischen projektiver und metrischer Geometrie im Sinne von Kleins Erlanger Programm. Von der Äquivalenz, die als Isomorphismus in bezug auf die Gleichheitsbeziehung angesehen werden kann, gelangt man nämlich zur Ähnlichkeit, indem man noch gegenüber der weiteren Beziehung der „Anordnung“ den isomorphen Charakter vorschreibt.Google Scholar
  5. 2.
    Diese zweite Eigenschaft ist von selbst erfüllt, wenn die erste und die dritte befriedigt sind (vgl. Aufg. S. 142). Im übrigen vergleiche man für größtmögliche Vereinfachung und Zerlegung der hier erörterten Grundeigenschaften jeder einfachen Ordnung Huntington [4] und [5].Google Scholar
  6. 1.
    Der Zusatz „geordnet“ bleibt nachstehend, wo ohne Mißverständnis möglich, öfters fort.Google Scholar
  7. 1.
    Diese Beschränkung ist deshalb nötig, weil sonst möglicherweise die Reihenfolge zweier in beiden Mengen vorkommender Elemente in der einen Menge umgekehrt ist wie in der anderen, so daß es unmöglich wird, die Reihenfolge in der Summe beizubehalten.Google Scholar
  8. 1.
    Hierfür gelten sinngemäß die der Definition 3 auf S. 84 vorangeschickten Bemerkungen.Google Scholar
  9. 1.
    Dieser Paragraph kann ohne Beeinträchtigung des Verständnisses alles später Folgenden überschlagen werden. Auch die in den Definitionen dieses Paragraphen eingeführten Begriffe und Bezeichnungen werden später nicht mehr benutzt.Google Scholar
  10. 1.
    Um von dieser mehrfach benutzten umkehrbar eindeutigen Zuordnung zwischen allen reellen Zahlen und allen Punkten einer Geraden in aller Strenge Gebrauch machen zu können, legt man am einfachsten die Gerade definitorisch als ähnliches Abbild der geordneten Menge aller reellen Zahlen zugrunde. Zwischen dieser und einer (abstrakten und schwierigen) rein „topologischen“ Auffassung sind mannigfache Zwischenstufen denkbar; in anschaulicher und weitgehend der Einführung des Zahlbegriffs entsprechender Weise kann man z. B. von zwei Punkten ausgehen, aus ihnen auf der durch sie bestimmten Geraden durch gewisse Operationen (z. B. durch „rationale“ einschl. geometrischer Mittelbildung) weitere Punkte herleiten und schließlich eine geometrische Forderung hinzuzufügen, die der Geraden eine genügend starke Besetzung mit Punkten garantiert (vgl. die Fußnote auf S. 160). Daß jedem Punkt der Geraden eindeutig eine reelle Zahl entspricht, ist bei dieser Auffassung eine Folge des Begriffs der reellen Zahl und daher beweisbar; daß aber auch umgekehrt jeder reellen Zahl ein Punkt zugeordnet ist, wird erst durch jene Forderung, das Cantor-Dedekindsche Axiom, erzwungen; durch dieses Axiom wird somit der Begriff des Punktes erst abschließend festgelegt. Vgl. Dedekind [1] und Cantor [4] sowie etwa die Darstellung bei Loewy [1], S. 188–191, wo man auch weitere Literaturangaben findet, denen noch Hölder [1] (bes. S. 30) und Baldus [3] (S. 44ff.) hinzugefügt seien.Google Scholar
  11. 1.
    Diese Bezeichnung will nur das Bestehen einer („einfachen“) Ordnung in der Menge ausdrücken und gilt daher z. B. auch für die Menge der Punkte einer beliebigen, nicht geschlossenen „Kurve“ im üblichen Sinne. Für den schon anderweitig mit der Theorie der Punktmengen vertrauten Leser sei indes bemerkt, daß „linear“ zuweilen in einem ganz anderen Sinn gebraucht wird, wie überhaupt dieses Gebiet den zweifelhaften Vorzug einer immer noch höchst uneinheitlichen Terminologie genießt.Google Scholar
  12. 2.
    Der für die Grundlegung der Arithmetik (Theorie der irrationalen — d. h. der [reellen] nicht rationalen — Zahlen) wie auch für die Geometrie überaus wichtige Begriff des „Schnittes“ ist von Dedekind in seiner berühmten, zuerst 1872 erschienenen Schrift [1] eingeführt worden. Unabhängig von Dedekinds Schnitttheorie haben im nämlichen Jahre Cantor [4] (vgl. auch Heine [1]) und Méray [1] ihre Ideen über den Begriff der Fundamentalreihe veröffentlicht, auf den sie die Theorie der irrationalen Zahlen gründen und der ihnen — wie oben im Text der Begriff des Schnittes — als methodisches Werkzeug zur Untersuchung der Punktmengen dient. Trotz der für die Praxis der Arithmetik weit bequemeren Anwendbarkeit der Methode von Cantor und Méray, die darum mathematisch den Vorzug verdient, ziehen wir hier die Auffassung Dedekinds um ihrer begrifflichen Einfachheit und Schönheit willen heran; ihre wirkliche Durchführung in der Arithmetik findet man am besten bei Perron [3]. Für eine vergleichende Betrachtung der beiden Theorien (sowie einer dritten spezielleren, von Weierstrass herrührenden) in ihrer Verwendung zur Definiton der Irrationalzahlen vergleiche man Cantor [7 V], § 9, und Jourdain [2] sowie die vorstehend auf S. 143, Fußnote, angeführte Literatur, ferner (für den inneren Zusammenhang) noch Perron [1].Google Scholar
  13. 1.
    Es widerstrebt zunächst dem Empfinden, eine solche Menge N „dicht“ zu nennen, und für gewisse mathematische Zwecke empfiehlt sich in der Tat eine abweichende Fassung dieses Begriffs. Innerhalb der uns hier interessierenden Theorie der Ordnung aber ist die obige, der Definition 1 entsprechende Terminologie im Einklang damit, daß der Ordnungstypus dieser Menge N derselbe ist wie derjenige der Gesamtmenge M. Google Scholar
  14. 1.
    Offenbar ist sogar der Umstand, daß eine Menge von Punkten (Zahlen) vorliegt, nicht wesentlich; vielmehr gilt der Kern der obigen Betrachtung ersichtlich für eine beliebige geordnete Menge mit Lücken, aber ohne Sprünge. Für jede derartige Menge kann man durch Anwendung der Dedekindschen Schnitttheorie die Lücken „ausfüllen“ und damit beseitigen.Google Scholar
  15. 1.
    Vgl. Cantor [121], S. 504506. Eine Ausdehnung des Verfahrens gibt Skolem [2], § 4. Der Beweis beansprucht im Schlußteil die sorgfältige Aufmerksamkeit des Lesers und kann allenfalls zunächst überschlagen werden.Google Scholar
  16. 1.
    Für die historischen und grundsätzlichen Gesichtspunkte vergleiche man vor allem Cantor [7 V], § 10. Die folgende Stelle daraus, die sich an eine Skizze der Geschichte unseres Problems im Altertum und Mittelalter anschließt, sei hier angeführt: „...Hier sehen wir den mittelalterlich-scholastischen Ursprung einer Ansicht, die wir noch heutigentages vertreten finden, wonach das Kontinuum ein unzerlegbarer Begriff oder auch, wie andere sich ausdrücken, eine reine aprioristische Anschauung sei, die kaum einer Bestimmung durch Begriffe zugänglich wäre; jeder arithmetische Determinationsversuch dieses Mysteriums wird als ein unerlaubter Eingriff angesehen und mit gehörigem Nachdruck zurückgewiesen; schüchterne Naturen empfangen dabei den Eindruck, als ob es sich bei dem „Kontinuum“ nicht um einen mathematisch-logischen Begriff, sondern viel eher um ein religiöses Dogma handle. Mir liegt es sehr fern, diese Streitfragen wieder heraufzubeschwören, auch würde mir zu einer genaueren Besprechung derselben in diesem engen Rahmen der Raum fehlen; ich sehe mich nur verpflichtet, den Begriff des Kontinuums, so logisch nüchtern wie ich ihn auffassen muß und in der Mannichfaltigkeitslehre ihn brauche, hier möglichst kurz und auch nur mit Rücksicht auf die mathematische Mengenlehre zu entwickeln. Diese Bearbeitung ist mir aus dem Grunde nicht leicht geworden, weil unter den Mathematikern, auf deren Autorität ich mich gern berufe, kein einziger sich mit dem Kontinuum in dem Sinne genauer beschäftigt hat, wie ich es hier nötig habe.“ Naturgemäß ruht Cantors Behandlung des Problems zu einem wesentlichen Teil auf den methodischen Gedanken, die von Forschern wie Cauchy, Bolzano, Weierstrass in die Analysis eingeführt worden sind und sich dort bereits durchgesetzt hatten. — Für das Verhältnis dieser ganzen mathematischen Kontinuitätstheorie zur Erfahrung vergleiche man etwa das fünfte Kapitel von Russell [7]. In neuester Zeit, etwa seit Beginn dieses Jahrhunderts und namentlich im letzten Jahrzehnt, sind freilich erneut ernstliche und bis heute nicht restlos geklärte Bedenken erhoben worden, die sich gegen den Begriff des Kontinuums als der fertigen Gesamtheit aller reellen Zahlen (Punkte) richten und damit auch Cantors Betrachtung entscheidend treffen. Hierfür ist auf § 14 (besonders S. 237 ff.) zu verweisen.Google Scholar
  17. 1.
    Man kann an die Stelle von „stetig“ auch „perfekt“ (vgl. nachstehend S. 159) setzen, ohne daß sich dadurch etwas an den im nächsten Absatz angeführten Tatsachen ändert. Cantor hat mit „perfekt“ operiert (vgl. indes die Fußnote 1 auf S. 158). — Vgl. (zu Eigenschaft 3) auch etwa Kuratowski [3], bes. S. 214.Google Scholar
  18. 1.
    Cantor hat gerade in seiner letzten und abschließenden einschlägigen Veröffentlichung [12 I] nicht nur den Begriff „dicht“, sondern, wie zuweilen in Vergessenheit gerät, auch die im folgenden entwickelten Begriffe (abgeschlossen, insichdicht usw.) auf die Ordnungsbeziehung gegründet und noch die 2. Auflage des vorliegenden Buchs war ihm hierin gefolgt. Die mehr grundsätzlich als praktisch abweichende Art, in der die folgenden Definitionen vorgehen, hat sich indes durch ihre hohe Bedeutung für die Anwendungsgebiete mehr und mehr durchgesetzt. Dagegen schien es nicht bloß aus historischen Gründen, sondern namentlich für die Anwendungen in den Nrn. 3 und 4 zweckmäßig, die Definition 1 (und 2) in dem ursprünglichen, auch von Hausdorff [4] beibehaltenen Sinne Cantors zu belassen, welcher auf die Theorie der geordneten Mengen zugeschnitten ist.Google Scholar
  19. 2.
    Man kann die Umgebung auch ohne Benutzung des Entfernungsbegriffs einführen, nämlich als ein P enthaltendes (offenes) Intervall. Obgleich ein solches metrikfreies Verfahren an sich vorzuziehen ist, wird für den Anfänger die obige Definition anschaulicher sein. — Hervorgehoben sei noch zum Nachfolgenden, daß der Begriff des Häufungspunktes und die darauf gestützten Begriffsbildungen nicht absoluten, sondern relativen Charakter tragen, nämlich abhängig sind von der als Bezugssystem dienenden Punktmenge, dem „Raum“; bei dem elementaren Charakter dieses Paragraphen, der nur einer ersten und vorläufigen Orientierung dienen will, wird von jener Relativität durchweg abgesehen, nämlich ein für allemal die Ausgangsmenge M als „Raum“ zugrunde gelegt.Google Scholar
  20. 1.
    Diese Tatsache, die unserer Anschauung vom Wesen einer „kontinuierlichen“ geraden Linie zu entsprechen scheint, ist geometrisch nicht beweisbar, sondern der Ausdruck des mehrfach erwähnten geometrischen Axioms, das sich mit Benutzung der Ausdrucksweise von Definition 2 so aussprechen läßt: M weist keine Lücken auf. Dagegen wird die entsprechende Tatsache für die Menge der reellen Zahlen beweisbar, falls man durch Definition den Begriff der reellen Zahl entsprechend weit faßt, so weit nämlich, daß sich die obige Tatsache für die Menge aller reellen Zahlen (ev. zwischen zwei festen Zahlen) nachweisen läßt (vgl. Fußn. auf S. 144f. sowie etwa die Darstellung bei Knopp [1], 1. Kapitel, oder bei Loewy [1], 3. Kapitel). Betrachtet man also die gerade Linie nicht eigentlich als geometrisches Gebilde, sondern als Abbild der Gesamtheit der reellen Zahlen (Zahlengerade), so wird die obige Tatsache in dem angegebenen Sinne beweisbar.Google Scholar
  21. 1.
    Als das erste eigentliche Lehrbuch der Theorie der Punktmengen (einschl. der Elemente der abstrakten Mengenlehre) ist dieses Werk des englischen Forscherehepaares von besonderer Bedeutung gewesen.Google Scholar
  22. 1.
    Vgl. die Bemerkung in Beispiel 1 von S. 128.Google Scholar
  23. 1.
    Die wesentlichen Anregungen zu der in dieser Nummer angewandten Methode verdanke ich Herrn Plessner. Andersartige Herleitungen der Vergleichbarkeit findet man bei Cantor [12 II], Baire [2], W. H. Young [1], Hessenberg [3] (S. 58ff.) und (unter Verwendung der Ordnungszahlen) bei Hausdorff [3] und [4].Google Scholar
  24. 1.
    Man verstehe „endlich.“ vorläufig etwa im naiven Sinn (S. 22). Über die Verhältnisse bei anderer Deutung vgl. S. 182 und 321.Google Scholar
  25. 1.
    Fordert man für jede Teilmenge nur die eine oder die andere Eigenschaft, d. h. betrachtet man die Mengen, von denen jede Teilmenge ein erstes oder ein letztes Element besitzt, so erhält man eine (nur geringfügige) Verallgemeinerung der wohlgeordneten Mengen; vgl. Steckel [1].Google Scholar
  26. 2.
    Wegen des Verhältnisses dieses „ Satzes“ zum Begriff der natürlichen Zahl selbst, besonders in der axiomatischen Prägung durch Peano und Pieri, vergleiche man Padoa [4].Google Scholar
  27. 1.
    Diese Bezeichnungen und Zeichen für die Größenanordnung der Ordnungszahlen sind also dieselben wie die in § 6 für die Größenanordnung der Kardinalzahlen eingeführten. Verwechslungen sind hieraus nicht zu befürchten (außer etwa bei endlichen Kardinal- und Ordnungszahlen, wo es nichts ausmacht).Google Scholar
  28. 1.
    Die kürzere Ausdrucksweise; „Ist W ein beliebiges Anfangsstück der Menge aller (nach ihrer Größe angeordneten) Ordnungszahlen“ ist deshalb nicht angängig, weil gegen die Zusammenfassung aller Ordnungszahlen zu einer Menge Bedenken bestehen, wie wir noch sehen werden (S. 212).Google Scholar
  29. 1.
    Vgl. das Cantor-Zitat auf S. 3. Auch in philosophischer Betrachtung werden zuweilen die transfiniten Zahlen als natürliche oder sogar notwendige Krönung des Gebäudes der Arithmetik angesehen; siehe z. B. Wäsche [1], S. 40 (vgl. auch S. 36).Google Scholar
  30. 2.
    Für den Zusammenhang mit dem zu Ende von § 9 andeutungsweise erwähnten allgemeinen Potenzbegriff siehe Hausdorff [3], S. 117ff. (vgl. auch etwa Hessenberg [4]). Es sei nochmals (vgl. S. 142) hervorgehoben, daß die Potenzierung von Ordnungszahlen etwas ganz und gar anderes bedeutet und bezweckt, als die in § 8 behandelte Potenzierung der Kardinalzahlen. So ist z. B. eine Menge von der Ordnungszahl (oder von jeder anderen der oben und im folgenden angeführten Ordnungszahlen) abzählbar und nicht etwa von der Kardinalzahl aa = C des Kontinuums. Um z. B. die Menge der natürlichen Zahlen nach der Ordnungszahl anzuordnen, kann man mit Hessenberg jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren darstellen und diese Produkte in erster Linie nach der wachsenden Anzahl der (gleichen oder verschiedenen) Faktoren anordnen ; bei gleicher Anzahl der — in der Reihenfolge nach ihrer Größe anzuschreibenden — Faktoren soll, unter Außerachtlassung etwa beiderseits gleicher Faktoren, die Größe der zunächst kommenden verschiedenen Faktoren für die Anordnung der Produkte maßgebend sein. Hiernach ergibt sich folgende Anordnung der (abzählbaren!) Menge der natürlichen Zahlen: (math) Man mache sich dieses Bildungsgesetz klar und überzeuge sich zu diesem Zwecke namentlich, daß z. B. die Menge aller der Zahl 2n hier vorangehenden Zahlen die Ordnungszahl besitzt!Google Scholar
  31. 1.
    Man könnte zum Beweis auch den Satz 1 des § 8 heranziehen.Google Scholar
  32. 1.
    Zur Geschichte des Wohlordnungsproblems (wie auch für Jourdains einschlägige Beweisversuche) vergleiche man Jourdain [5].Google Scholar
  33. 1.
    Vgl. Schoenflies [11], S. 100f.Google Scholar
  34. 1.
    Gegen diese Heranziehung der „Reihe der Ordnungszahlen“, die bei Zer-melo vermieden wird, sind gewisse Einwände möglich; vgl. S. 212.Google Scholar
  35. 1.
    Der Ausdruck „Folge“ soll eine kurze Bezeichnung für „wohlgeordnete Menge“ darstellen. Trotz der Bequemlichkeit dieses Ausdrucks wurde hier sonst von seiner Verwendung abgesehen, und zwar in Rücksicht auf seinen spezielleren Gebrauch außerhalb der Mengenlehre (im Sinn von „abgezählte Menge“, nur ohne die Bedingung, daß die einzelnen Elemente alle verschieden sein sollen).Google Scholar
  36. 1.
    Die Anregung zu einem derartigen, gewissermaßen unmittelbaren Beweis des Vergleichbarkeitssatzes (mittels des Auswahlprinzips) verdanke ich den Herren H. Prüfer und A. Flessner, die mir unabhängig ihre Beweisanordrrangen mitteilten. Aus Gründen, die lediglich mit dem Rahmen der vorangehenden Darstellung zusammenhängen, bin ich im wesentlichen der Anordnung Plessners gefolgt, die sich naturgemäß im Kern mit derjenigen Prüfers berührt.Google Scholar
  37. 2.
    Die monotonen Mengen von Teilabbildungen lassen sich auffassen als besondere Vertreter einer allgemeineren Art von Mengen: nämlich der Mengen ø von Teilabbildungen mit der Beschaffenheit, daß jedem Element von M, das in mehreren Teilabbildungen aus ø herangezogen wird, durch all diese stets das nämliche Element von N zugeordnet wird. Auch der Begriff der Resultante gilt unverändert für derartige allgemeine Mengen.Google Scholar

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1928

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität KielDeutschland

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