Advertisement

Das Rechnen mit Kardinalzahlen

  • Adolf Fraenkel
Chapter
Part of the Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften book series (GL, volume 9)

Zusammenfassung

Den endlichen Kardinalzahlen oder Anzahlen 0, 1, 2, 3,… reihen sich in der Mengenlehre die unendlichen Kardinalzahlen an, von denen wir in den zwei vorangehenden Paragraphen drei verschiedene kennengelernt haben, nämlich a, c und f. Die Entscheidung, welche von zwei endlichen Kardinalzahlen die kleinere und welche die größere ist, ist dem Leser wohlvertraut; man kann sie, wie leicht einzusehen, folgendermaßen formulieren: Sind M und N zwei endliche Mengen und ist M äquivalent einer eigentlichen (also namentlich von N selbst verschiedenen) Teilmenge von N, so ist die Kardinalzahl von M kleiner als die Kardinalzahl von N.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1.
    In den Fällen, wo für eine Ordnungsbeziehung die Unvergleichbarkeit von vornherein ausgeschlossen werden kann, läßt sich unschwer die im vorigen Absatz zuletzt genannte Eigenschaft formal aus den übrigen herleiten.Google Scholar
  2. 1.
    Vgl. Hessenberg [1], S. 41f., und Zermelo [3], S. 276; der Grundgedanke des Beweisverfahrens findet sich bei Cantor [11]. Übrigens hatte Cantor schon 1883 in [7 V] die Existenz unendlichvieler verschiedener unendlicher Kardinalzahlen bewiesen, aber mit ganz anderen, verwickeiteren Hilfsmitteln (aus der Theorie der „Wohlordnung“; siehe S. 193).Google Scholar
  3. 1.
    Hier bedeutet natürlich 0 nicht wie vorher die Nullmenge, sondern — da vor dem <-Zeichen stehend — die Kardinalzahl der Nullmenge, also die Zahl Null.Google Scholar
  4. 2.
    Siehe Schoenflies [11], S. 101/2; das Verfahren findet sich mit einer grundsätzlich unwichtigen Abänderung auch 1898 bei Borel [1], S. 102 f.Google Scholar
  5. 1.
    Vielfach wird, ebenso wie die Summenbildung durch das Pluszeichen, so die Durchschnittsbildung durch den Malpunkt bezeichnet, zuweilen sogar (namentlich in der französischen Literatur) statt „Durchschnitt“ der Ausdruck „Produkt“ gebraucht. Hierfür sprechen gewichtige Gründe (vgl. Aufg. 415 auf S. 77 sowie auch die Bezeichnungsweise der Logistik, siehe § 15, Nr. 5, und man wird in der Regel so verfahren in den Anwendungsgebieten der Mengenlehre, wo der Durchschnitt eine höchst wichtige Rolle spielt, dagegen die Verbindungsmenge (S. 89) durchaus zurücktritt. Für die in diesem Buch im Vordergrund stehende theoretische (abstrakte) Mengenlehre dagegen ist die Verbindungsmenge weit bedeutungsvoller als der Durchschnitt und da bietet es dem Verständnis eine wesentliche Erleichterung, die Bezeichnungen „Produkt“ und „mal“ der Verbindungsmenge vorzubehalten, mittels deren (vgl. S. 91) die Multiplikation von Kardinalzahlen definiert wird.Google Scholar
  6. 1.
    Ist N 1 gleich N oder M 1 gleich M so besagt dies schon, daß M ~ N, daß also der Äquivalenzsatz in diesen Fällen zutrifft. Man kann sich daher auf die Betrachtung eigentlicher Teilmengen N 1 und M 1 beschränken, womit der Fall endlicher Mengen M und N offenbar ausgeschlossen ist; für endliche Mengen ist der Satz in der Tat trivial, sobald man weiß, daß eine endliche Menge keiner eigentlichen Teilmenge von sich äquivalent sein kann (S. 22).Google Scholar
  7. 2.
    Will man sich in Abb. 8 jeden der beiden Fälle (D = 0 oder nicht) veranschaulichen, so hat man sich im ersten Fall D als ein jeweils auf die linkeGoogle Scholar
  8. 1.
    Vgl. für Fortbildungen des Gedankengangs dieses Beweises Banach [1] und D. König [1] sowie die an letzterer Stelle angegebene Literatur, ferner für den ganzen Gedankenkreis (Eigenschaften der eindeutigen Abbildungen) Sierpinski [4] und Lindenbaum-Tarski [1], § 2. Siehe auch Lindenbaums Verallgemeinerungen des Äquivalenzsatzes in der zuletzt genannten Arbeit, S. 302 f.Google Scholar
  9. 1.
    Zu dieser Erscheinung, die für die Operationen der Addition und Multiplikation von Zahlen (oder Mengen, siehe § 7) bekanntlich nicht gilt, vgl. man Fr. Klein [1].Google Scholar
  10. 2.
    Diesen Gedanken hatte Cantor im Auge, als er der abschließenden Darstellung seiner Entdeckungen u. a. das Motto voranstellte: „Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus et describimus.“ ([12 I], S. 481.) Vgl. auch schon die These III aus der Habilitationsschrift [1] des Vierandzwanzig jährigen: „Numeros integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere“, sowie eine briefliche Äußerung von 1884: „Was das übrige betrifft [nämlich außer der „Kunst der Stilistik“ und der „Ökonomie der Darstellung“ in Cantors Arbeiten], so ist dies nicht mein Verdienst, ich bin in bezug auf den Inhalt meiner Arbeiten nur Berichterstatter und Beamter“ (vgl. Schoenflies [12], S. 15f.).Google Scholar
  11. 1.
    Die Kontroverse, ob die mathematischen Begriffe Schöpfungen unseres Denkens sind oder — so für Cantor — unabhängig von der sie denkenden Vernunft (etwa als Ideen im Sinne Platos) existieren, kurz: ob sie erfunden oder entdeckt werden, ist speziell für die Mengenlehre bis heute aktuell geblieben. Man vergleiche hierzu etwa Hessenberg [6] sowie nachstehend S. 329f.Google Scholar
  12. 1.
    Vgl. den Ausdruck „teilerfremd“ für ganze Zahlen, die keinen gemeinsamen Teiler besitzen.Google Scholar
  13. 1.
    In der Arithmetik, wo es genügt die Addition zweier Summanden zu erklären, kann man die Summe a + b + c durch eine der rechtsstehenden Klammerformen definieren; in unserem Fall aber, wo unendlichviele Summanden möglich sind und daher die Definitionen 2 und 3 diesen allgemeinen Fall sogleich mitumfassen müssen, enthält die obige Formel zwei verschiedene Behauptungen.Google Scholar
  14. 1.
    Man kann übrigens, indem man die Definition 5 entsprechend wie Definition 3 — also etwas umständlicher als oben — beginnen läßt, ersichtlich sogar die Möglichkeit einschließen, daß die Faktoren sämtlich oder teilweise einander gleich sind, muß dann freilich die Reihenfolge der Elemente im Komplex beachten. Im Hinblick auf Definition 6, deren wesentliche Vorstufe Definition 5 ist, besteht indes hierzu in der Regel kein Bedürfnis.Google Scholar
  15. 1.
    Für den Grund, weshalb man sich die Kardinalzahlen m1, m2,… in dieser etwas umständlichen Art gegeben denkt, vergleiche man die der Definition 3 vorangeschickten Bemerkungen (S. 83f.).Google Scholar
  16. 1.
    In dieser Beziehung sind die drei miteinander verglichenen Verbindungsmengen nicht miteinander identisch, sondern nur einander äquivalent. In der Tat ist z. B. das Element (a, (b, c)) der Menge A · (B·C) im allgemeinen verschieden von dem Element ((a, b), c) der Menge (A · B) · C und beide sind verschieden von dem Element (a, b, c) der Menge A · B · C. Ordnen wir aber diese drei Elemente und ebenso je drei im gleichen Sinne zusammengehörige andere Elemente der drei Mengen einander zu, so entstehen dadurch Abbildungen zwischen den Mengen A · B · C, A · (B · C) und (A · B) · C, die die Äquivalenz der drei Mengen erweisen. — Genau Entsprechendes würde übrigens von den Mengen A · B und B · A gelten, falls man im Sinn der Bemerkungen von S. 88 und 89f. bei der Bildung der Verbindungsmenge die Reihenfolge der einzelnen Elemente im Komplex als wesentlich betrachten wollte; dann wären A · B und B · A nicht mehr gleich, sondern nur noch äquivalent (was sich fürs Folgende als gleichgültig erweist). Im Wesen der Sache liegt es aber vielmehr, die Komplexe als Mengen schlechthin und demgemäß die Produkte A · B und B · A als gleich anzusehen. Man mache sich den (nur formalen) Unterschied beider Auffassungen etwa an Hand des Beispiels A = {1, 2|, B = {1, 2, 3, 4,…| klar!Google Scholar
  17. 1.
    Im folgenden wird an die Auffassung angeknüpft, daß in einem Produkt m · n der an erster Stelle stehende Faktor m den Multiplikanden, der zweite Faktor n den Multiplikator darstellen soll; hiernach würde die Multiplikation von m mit n bedeuten, die Zahl m n-mal als Summanden zu nehmen. Natürlich ist die umgekehrte Auffassung (m Multiplikator, n Multiplikand) ebensogut möglich, sprachlich sogar wohl treffender; praktisch ist — sowohl in der Arithmetik wie bei den Kardinalzahlen — die Unterscheidung bedeutungslos, da die Multiplikation kommutativ ist. Erst bei der Multiplikation der Ordnungszahlen (§9) ergibt sich ein Unterschied; da wir dort dem (schließlichen) Standpunkt Cantors folgen, wird ihm schon hier Rechnung getragen.Google Scholar
  18. 1.
    Im Sinne dieses Vorgehens kann man offenbar auch die „Vertreterinnen“, wie sie für die Definitionen 3 und 6 benötigt werden, mit einem Mindestaufwand von Ausgangsmaterial geeignet herstellen.Google Scholar
  19. 2.
    Die dortigen Bezeichnungen M sowie M 1 usw. und m 1 usw. sind also im vorliegenden Fall durch N sowie N 0 und m zu ersetzen.Google Scholar
  20. 1.
    In einem ganz speziellen Sinn spricht man von der „Differenz“ von Mengen; wir verschieben das, da vorher nicht benötigt, bis auf S. 200.Google Scholar
  21. 1.
    Zuerst bewiesen in Cantor [6] mittels einer anderen Methode.Google Scholar
  22. 1.
    Wesentlich ist hierbei, daß — wie bei jeder Abbildung — eine umkehrbar eindeutige Zuordnung vorliegen muß, vermöge deren dann auch die Stetigkeit von selbst gegenseitigen Charakter besitzt. Bei einer bloß eindeutigen Zuordnung hingegen ist auch das Hinzutreten der Stetigkeitseigenschaft noch nicht entscheidend. Vielmehr wurde die durch Cantors Ergebnis bewirkte Erschütterung des Dimensionsbegriffs womöglich noch gesteigert, als es Peano ([1]; aus der arithmetischen Darstellung in geometrisches Gewand erst durch Hilbert [1] gebracht) 1890 gelang eine „Kurve“ anzugeben, die sämtliche Punkte eines Quadrates durchläuft (oder eine stetige Bewegung eines Punktes derart, daß dieser in endlicher Zeit sämtliche Punkte eines Quadrates trifft), m. a. W. die Punkte eines Quadrates den Punkten einer Strecke eindeutig — aber natürlich nicht umkehrbar eindeutig — in solcher Weise zuzuordnen, daß benachbarten Streckenpunkten benachbarte Quadratpunkte entsprechen.Google Scholar
  23. 2.
    Zuerst bewiesen (auch noch für ein dreidimensionales Kontinuum) von Lüroth seit 1878 (vgl. Lüroth [1]).Google Scholar
  24. 3.
    Der schwierige Beweis hierfür wurde zuerst von Brouwer ([4], siehe auch [5] und [6]) erbracht. Für die Geschichte dieses Problems und die gerade auch in allerneuester Zeit erfolgreich fortgesetzten Untersuchungen über den Dimensionsbegriff vergleiche man die tiefschürfende Zusammenstellung bei Menger [1], sowie noch Alexandroff [1] und Hurewicz [1]. Übrigens findet man schon bei Bolzano ([3], S. 80) einen bemerkenswert weit fortgeschrittenen Versuch zur Definition des Dimensionsbegriffes.Google Scholar
  25. 1.
    Zu dieser wie auch zur folgenden Potenzdefinition kann man, sofern man Wert darauf legt, für den Fall n = 0, der freilich ohne Bedeutung ist, noch die Festsetzung m0 = 1 (für jedes m) hinzufügen.Google Scholar
  26. 2.
    Ausnahmsweise wird der Inhalt dieses kleingedruckten Abschnittes auch an manchen späteren Stellen dieses Paragraphen benutzt.Google Scholar
  27. 1.
    Schreibt man die Funktion oder Belegung in dieser Form, so hat man offenbar die Reihenfolge im Komplex zu beobachten, obgleich es an sich beim Funktionsbegriff auf eine Reihenfolge nicht ankommt. Will man, was freilich umständlicher ist, die Reihenfolge ausschalten, so braucht man nur jedem f(n) = a n das betreffende n noch hinzuzufügen, d. h. den (geordnet gedachten) Komplex der a n zu ersetzen durch die (ungeordnete) Menge der geordneten Paare (n, a n ) (vgl. S. 88ff.), also durch die Menge {(1, aj, (2, a 2 ), (3, a 3 ),…|, worin zwei a n mit verschiedenem Index n nicht verschieden zu sein brauchen.Google Scholar
  28. 2.
    Noch durchsichtiger wird der Sachverhalt, wenn man (vgl. die Fußnote auf S. 89) sämtliche Faktoren M, M′ usw. gleich M wählt.Google Scholar
  29. 1.
    Die so zu der festen Ausgangsmenge N definierbaren Funktionen nennt man nach de la Vallée Poussin ([1] sowie [2], S. 7; dort ein wenig spezieller eingeführt) die den Teilmengen N′ zugehörigen charakteristischen Funktionen; demnach gehört zu jeder Teilmenge N′ von N umkehrbar eindeutig eine charakteristische Funktion, deren unabhängige Veränderliche jedesmal die Menge N durchläuft.Google Scholar
  30. 1.
    Eine hieraus entspringende Schwierigkeit wird uns noch beschäftigen (S. 212).Google Scholar
  31. 1.
    Vgl. z. B. Loewy [1], S. 102–104.Google Scholar
  32. 1.
    Der Rest dieses Paragraphen kann überschlagen werden, ohne daß das Verständnis des Nachfolgenden beeinträchtigt würde; er wendet sich vor allem an die philosophischen Interessenten am Unendlichkleinen.Google Scholar
  33. 1.
    Man vergleiche etwa die uns heute erstaunlich anmutende Diskussion zwischen Leibniz und Johann Bernoulli, auf die Weyl [7], S. 36, hinweist.Google Scholar
  34. 1.
    Vgl. Cantor [10], [13] und [14].Google Scholar
  35. 2.
    Vgl. Cantors auf S. 78f. angeführtes Motto sowie Schoenflies [12], S. 14.Google Scholar
  36. 1.
    Schon Polynome in einer Variabein x bilden ein solches System, wenn man z. B. n < 1 (für jedes n) festsetzt. Für tieferliegende Beispiele vergleiche man außer den schon genannten Arbeiten etwa Hilbert [2], § 12; Hahn [1]; Vahlen [1]; Fraenkel [1]; Artin-Schreier [1]; Baer [1]. (Vgl. auch Chwistek [4].) Ein sehr anschauliches und schon frühzeitig erörtertes Beispiel stellen die „hornförmigen“ Winkel zwischen sich berührenden Kurven (z.B. einem Kreis und seiner Tangente) gegenüber den Winkeln zwischen Geraden dar. Für die in diesem Zusammenhang besonders wichtige Theorie der Wachstumsordnung vergleiche man neben du Bois-Reymond [1] etwa Hardy [3] sowie den zitierten vielseitigen Aufsatz von Baer, der auch weitere Literaturangaben enthält.Google Scholar
  37. 1.
    Natürlich bezieht sich dieses „Feststellen“ nur auf den intuitiven Weg zu einer neuen Theorie, auf dem ja die Phantasie eine weit wesentlichere Rolle spielt als das Denken, sowie auf die Folgerungen aus den Definitionen, nicht aber auf die logisch-systematische Darstellung der Begriffsbildungen. In der Systematik sind die eigentlichen (expliziten) Definitionen der Mathematik immer Festsetzungen und nicht etwa „Feststellungen“ aus irgendwie „gegebenen“ Sachverhalten (siehe Dubislav [2]).Google Scholar
  38. 1.
    Das schließt freilich eine nachträgliche dogmatische, namentlich auch axio-matische Begründung nicht aus (vgl. fünftes Kapitel), wie dies ja auch von Arithmetik und Geometrie gilt; vielmehr hat eine derartige Begründung in all diesen Fällen ihre methodischen Vorzüge, z.B. auch zur Klärung der gegenseitigen Abhängigkeitsverhältnisse zwischen den einzelnen Rechengesetzen usw. Übrigens läßt sich auch auf solchem Wege zeigen, daß es unmöglich ist, aktual unendlichkleine Zahlen in den Rahmen der Rechengesetze der unendlichgroßen Kardinalzahlen mithineinzuspannen (vgl. Fraenkel [4], besonders S. 171, 180, 182f.).Google Scholar
  39. 2.
    Für die vorstehend gemachte Unterscheidung zwischen „formaler“ und „natürlicher“ (oder „anschaulicher“) Begründung neuer mathematischer Begriffe, auf die in scharfer Weise einzugehen nicht in der Absicht der obigen Zeilen liegt, vergleiche man auch die etwas verwandte, von Cantor hervorgehobene Unterscheidung zwischen immanenter und transienter Realität von Begriffen (Cantor [7 V], § 8). Der z. B. mit der Theorie der höheren komplexen Zahlen vertraute Leser denke etwa einerseits an ein durch willkürliche (nur miteinander verträgliche) Additions- und Multiplikationsregeln definiertes System solcher Zahlen, dessen Eigenschaften im allgemeinen für die übrige Mathematik bedeutungslos sein werden, andererseits an die durch das Bedürfnis von Algebra und Funktionentheorie nahegelegte „transiente“ Begründung der gemeinen komplexen Zahlen vermittels der ebenen Vektoren (Gausssche Zahlenebene) oder auch an die Begründung der Hamiltonschen Quaternionen! Allerdings ist die Kluft zwischen dem Unendlichen der Mengenlehre und dem der nichtarchimedischen Größensysteme eine weit tiefere. — Eine auf die Außenwelt sich beziehende transiente Begründung steht freilich auch für das Unendlichgroße nicht zur Verfügung (vgl. S. 6f. zu Beginn des Beispiels 4; ferner S. 373f.).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1928

Authors and Affiliations

  • Adolf Fraenkel
    • 1
  1. 1.Universität KielDeutschland

Personalised recommendations