Zusammenfassung
Während es bei den Reihen mit positiven Gliedern möglich war, die Untersuchung ihres Konvergenzverhaltens einigermaßen zu systematisieren, muß man bei Reihen mit beliebigen Gliedern fast ganz darauf verzichten. Der Grund hierfür ist weniger in einer ungenügenden Entwicklung der Theorie zu sehen als in der Sache selbst. Denn eine Reihe mit beliebigen Gliedern kann konvergent sein, ohne absolut zu konvergieren1. Ja, dieser Fall wird hier sogar der fast allein interessierende, denn die Feststellung der etwaigen absoluten Konvergenz kommt nach 85 doch auf die Untersuchung einer Reihe mit positiven Gliedern zurück. Wir brauchen daher hier nur den Fall zu betrachten, daß die Reihe entweder tatsächlich nicht absolut konvergiert oder ihre absolute Konvergenz mit den bisherigen Mitteln nicht erkannt werden kann. Konvergiert aber die Reihe nur bedingt, so hängt die Konvergenz nicht nur von der Größe der einzelnen Glieder ab, sondern wesentlich noch von der Art ihrer Aufeinanderfolge. Etwaige Vergleichskriterien dürfen sich also nicht nur, wie früher, auf die einzelnen Glieder beziehen, sondern müssen im wesentlichen die ganze Reihe in Betracht ziehen. Das bedeutet aber letzten Endes, daß jede Reihe für sich untersucht werden muß und sich also kein allgemeiner Zugang zu allen Reihen angeben läßt.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
l. c. — Das Abelsche Kriterium gibt eine hinreichende Bedingung für die (b n) an, damit aus der Konvergenz von ∑a n diejenige von ∑a nbn folgt.
J. Hadamard (Acta math. Bd. 27, S. 177. 1903) gibt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen
vgl. auch E. B. Elliot (Quarterly Journ. Bd. 37, S. 222. 1906), der die Fragestellung in verschiedener Weise verfeinert.
Antrittsprogramm d. Univ. Freiburg, 1871. — Die oben benutzte Benennung der 3 Kriterien ist eine mehr konventionelle, da im Prinzip alle drei schon von Abel herrühren. Zur Geschichte dieser Kriterien
vgl. A. Pringsheim: Mathem. Ann. Bd. 25, S. 423. 1885.
Malmstén, C. J.: Nova Acta Upsaliensis (2) Bd. 12, S. 255. 1844.
Rom. Acc. Lincei Rend. (4) Bd. 4, S. 133. 1888.
Vgl. hierzu eine Note von G. H. Hardy: Messenger of Math. (2) Bd. 41, S. 17. 1911
H. Rademacher: Mathem. Z. Bd. 11, S. 276–288. 1921.
Riemann, B.: Abh. d. Ges. d. Wiss. z. Göttingen Bd. 13, S. 97. 1866/68. — Die Behauptungen b) und c) sind naheliegende Ergänzungen.
J. reine u. angew. Math. Bd. 79, S. 182. 1875.
Eine Erweiterung des Satzes gab T. J. Stieltjes: Nouv. Annales (3) Bd. 6, S. 210. 1887.
Sätze der hier in Rede stehenden Art hat A. Pringsheim (Mathem. Ann. Bd. 21, S. 340. 1883) bewiesen und im Anschluß an dessen Arbeiten A. Voss (ebenda Bd. 24, S. 42. 1884)
F. Cajori (Bull. of the Americ. Math. Soc. Bd. 8, S. 231. 1901/2; Bd. 9, S. 188. 1902/3).
Vgl. auch § 66 des schon oft zitierten Werkes von A. Pringsheim: Vorlesungen über Zahlen-und Funktionenlehre (Leipzig 1916). Wesentlich tiefer liegt eine Gruppe hierher gehöriger Sätze, von denen G. H. Hardy (Proc. of the London Math. Soc. (2), Bd. 6, S. 410. 1908) einen besonders schönen bewiesen hat.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Besonderer Hinweis
Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
Rights and permissions
Copyright information
© 1931 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Knopp, K. (1931). Reihen mit beliebigen Gliedern. In: Theorie und Anwendung der Unendlichen Reihen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 2 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41997-7_11
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-41997-7_11
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-662-41941-0
Online ISBN: 978-3-662-41997-7
eBook Packages: Springer Book Archive