Zusammenfassung
Die bisherige Form des logischen Kalküls ist zur präzisen Darstellung derjenigen logischen Zusammenhänge ausreichend, bei denen die Aussagen als ungetrenntes Ganzes auftreten. Jedoch ist keine Rede davon, daß wir mit dem Aussagenkalkül für die Zwecke der Logik überhaupt auskommen. Nicht einmal jene einfachen Arten von Schlüssen, welche in der traditionellen Logik mit den Stichworten „barbara“, „celarent”, „darii“ usw. bezeichnet zu werden pflegen, lassen sich wiedergeben. Z. B. sucht man vergebens nach einer formalen Darstellung der logischen Beziehung, die in den drei Sätzen:
„Alle Menschen sind sterblich; Cajus ist ein Mensch; folglich ist Cajus sterblich.“
zum Ausdruck kommt. Der Grund hierfür ist, daß es bei Schlüssen dieser Art nicht nur auf die Aussagen als Ganzes ankommt, sondern daß die innere logische Strutur der Aussagen, die sich sprachlich durch die Beziehung zwischen Subjekt und Prädikat ausdrückt, eine wesentliche Rolle spielt. Durch diese Erwägungen werden wir dazu veranlaßt, den Kalkül oder wenigstens seine inhaltliche Bedeutung zu ändern.
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Literatur
In der Mathematik wendet man an Stelle des Ausdruckes „Klasse“ gewöhnlich das Wort „Menge” an.
Man beachte, daß die Festlegung der Reihenfolge von S und P im Schlußsatz keine Beschränkung der Allgemeinheit darstellt, da ja eine Schlußfigur mit PS als Schlußsatz stets aus einer der vier genannten Figuren durch bloße Änderung der Bezeichnung und Umstellung der Prämissen hervorgeht.
Ein vollständiges Axiomensystem für den kombinierten Kalkül und zugleich eine interessante Erweiterung des Klassenkalküls ist von M. Wajsberg angegeben worden, vgl. M. Wajsberg: Ein erweiterter Klassenkalkül. Mh. Math. Physik Bd. 40 (1932) [siehe auch die zugehörige Berichtigung in Mh. Math. Physik Bd. 42 (1935) S. 242]. Die in dieser Arbeit ebenfalls behandelte Frage nach den immer richtigen Aussagen des kombinierten Kalküls war in anderer Weise schon durch die in 5 12 des nächsten Kapitels erwähnten Arbeiten von LÖWenheim, Skolem und Behmann gelöst worden. Vgl. insbesondere die Darstellung von Behmann in Math. Ann. Bd. 86 (1922).
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Hilbert, D., Ackermann, W. (1938). Der Klassenkalkül (einstellige Prädikatenkalkül). In: Grundzüge der Theoretischen Logik. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 27 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41928-1_3
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