Zusammenfassung
Einen ersten, unentbehrlichen Bestandteil der mathematischen Logik bildet der sogenannte Aussagenkalkül. Unter einer Aussage ist jeder Satz zu verstehen, von dem es sinnvoll ist, zu behaupten, daß sein Inhalt richtig oder falsch ist. Aussagen sind z. B.: „Die Mathematik ist eine Wissenschaft“, „der Schnee ist schwarz”, „9 ist eine Primzahl“. In dem Aussagenkalkül wird auf die feinere logische Struktur der Aussagen, die etwa in der Beziehung zwischen Prädikat und Subjekt zum Ausdruck kommt, nicht eingegangen, sondern die Aussagen werden als Ganzes in ihrer logischen Verknüpfung mit anderen Aussagen betrachtet.
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Literatur
Das ausschließende „entweder — oder“ kann durch eine Kombination der Grundzeichen ausgedrückt werden. „Entweder X oder Y’ ist die Negation von X Y und wird dargestellt durch X Y.
Es sei hervorgehoben, daß die hier gebrauchte Schriftabkürzung äq nicht zu unseren logischen Symbolen gehört.
Äquivalenzen; Entbehrlichkeit von Grundverknüpfungen.
Wir gebrauchen hier und im folgenden häufig die schon erwähnte bequeme Schreibweise, bei der das Zeichen y fortgelassen wird.
Über den Gebrauch der deutschen Buchstaben vgl. § 5.
Bernays, P.: Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalkiils der Principia Mathematica. Math. Z. Bd. 25 (1926).
Frege, G.: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildeten Formel-sprache des reinen Denkens. Halle 1879.
Lukasiewicz, J. u. A. Tarski: Untersuchungen über den Aussagenkalkiil. (C. R. Soc. Sci., Varsovie, Bd. 23, Klasse Iii, Warschau 1930.)
Nicol:), J. G. P.: A reduction in the number of the primitive propositions of logic. Proc. Camb. Phil. Soc. Bd. 19 (1917). Vgl. dazu auch W. V. Quine: A note on Nicod’s postulate, Mind 41.
Hilbert, D. u. P. Bernays: Grundlagen der Mathematik I, S. 66.
Gentzen, G.: Untersuchungen über das logische Schließen I und II. Math. Z. Bd. 39 (1934). — Verwandte Gedanken sind unabhängig von JAsxowsRI entwickelt worden. Vgl. S. Jaskowski: On the rules of suppositions in formal logic. Studia logica Nr. 1 (1934).
Diese Frage der Unabhängigkeit des Axiomensystems ist ebenfalls in der S. 24 zitierten Arbeit von P. Bernays, Axiomatische Untersuchung usw. gelöst worden.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Hilbert, D., Ackermann, W. (1938). Der Aussagenkalkül. In: Grundzüge der Theoretischen Logik. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 27 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41928-1_2
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