Unendliche Produkte

Zusammenfassung

Ein unendliches Produkt

$${u_1}\cdot {u_2}\cdot {u_3}\cdot \ldots \cdot {u_n}\cdot \ldots $$

sollte nach § 11, II lediglich ein anderes Symbol für die Folge der Teilprodukte

$${p_n} = {u_1}\cdot {u_2}\cdot \ldots \cdot {u_n}$$

sein. Danach müßte man ein solches unendliches Produkt konvergent mit dem Werte U nennen, also

$$\mathop {II}\limits_{n = 1}^\infty {u_n} = U$$

setzen, wenn die Folge (p _n ) gegen die Zahl U als ihren Grenzwert strebt. Das bringt die Unzuträglichkeit mit sich, daß dann jedes Produkt konvergent genannt werden müßte, bei dem nur ein einziger Faktor = 0 ist. Denn ist u _m = 0, so würde auch p _n = 0 sein für alle n ≧ m und es würde p _n ⊒ U = 0 streben. Ebenso wäre ersichtlich jedes Produkt konvergent — und wieder mit dem Werte 0 —, bei dem von einer Stelle ab für alle n

$$\left| {u_n } \right|\underline{\underline< } \vartheta< 1$$

ist. Um diese nichtssagenden Fälle auszuschließen, beschreibt man das Konvergenzverhalten eines unendlichen Produktes nicht ohne weiteres durch dasjenige der Folge der Teilprodukte, sondern benutzt zweckmäßiger die folgende Definition, die der Sonderrolle der Null bei der Multiplikation Rechnung trä

The erratum of this chapter is available at http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-41871-0_20