Zusammenfassung
Alle in den messenden Wissenschaften ausgeführten Beobachtungen sind mit Fehlern behaftet, welche ihr Entstehen hauptsächlich den Unvollkommenheiten der Sinnesorgane, kleinen Fehlern im Bau, in der Berichtigung und Aufstellung des Instrumentes, ungünstigen atmosphärischen Verhältnissen und anderen ähnlichen Gründen verdanken. Diese Fehler verraten sich bei wiederholter Beobachtung ein und derselben Größe in den zwischen den Beobachtungen bestehenden Abweichungen. Liegen hingegen nur einmalige Beobachtungen verschiedener Größen vor, welche wie die Winkel im Dreieck einer von vornherein bekannten Bedingung strenge genügen sollen, so äußern sie sich in dem Widerspruch, welchen die Beobachtungen der Erfüllung einer oder mehrerer solcher Bedingungen entgegensetzen.
Für ein tieferes Studium der Fehlertheorie und Ausgleichungsrechnung, sowie ihrer Anwendungen sei auf folgende Werke verwiesen: a) Helmert, F. B.: Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 3. Aufl. Leipzig und Berlin 1924.
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Literatur
Jordan, W.: Handbuch der Vermessungskunde Bd. 1: Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 7. Aufl. Stuttgart 1920.
Hegemann, E.: Übungsbuch für die Anwendung der Ausgleichungsrechnung, 2. Aufl. Berlin 1902.
Vogler, Ch. A.: Geodätische Übungen für Landmesser und Ingenieure Teil II 3. Aufl. Berlin 1913. Ein ausführliches Literaturverzeichnis über das Gebiet der Fehlertheorie enthält
Czuber, E.: Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, im Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung Bd. 7. Leipzig 1899.
Der wahrscheinlichste Wert ist ein der Wahrheit möglichst nahekommender Wert, welcher bei einer unendlich oft wiederholten Messung der gesuchten Größe in der Reihe der Beobachtungen am häufigsten auftreten würde.
C. F. Gauß (1777–1855) hat sein Fehlergesetz 1794 aufgestellt, aber erst 1809 in der Theorie der Bewegung der Himmelskörper (ins Deutsche übertragen von C. H aase, Hannover 1865) veröffentlicht. Seine Ableitung stützt sich auf den Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit (Verhältnis der dem Eintreffen eines Ereignisses günstigen Anzahl von Fällen zur Gesamtzahl aller möglichen Fälle) und auf die allgemein gebräuchliche Annahme, daß der wahrscheinlichste Wert gleich genauer, direkter Beobachtungen das einfache arithmetische Mittel sei. Die später hauptsächlich von Bessel, Hagen und Crofton entwickelte Theorie der Elementarfehler führt ebenfalls zum Gauß schen Fehlergesetz. Sie besitzt den großen Vorzug, auf die Natur der Beobachtungsfehler als zusammengesetzte Größen einzugehen und führt wieder unter Benutzung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, aber ohne Verwendung des arithmetischen Mittels zum Ziele. Voraussetzung ist bei Crofton [Philos. Trans. Roy. Soc.,Lond. Bd.160 (1870) S. 175ff.] nur mehr, daß jeder Beobachtungsfehler als die algebraische Summe einer sehr großen Zahl von im Vergleich zum Gesamtfehler sehr kleinen Elementarfehlern betrachtet werden darf und daß die im allgemeinen verschieden großen Elementarfehler irgendein gerades Fehlergesetz befolgen, d. h., daß bestimmte Absolutfehler ebenso häufig positiv wie negativ auftreten. Von dem vielgliedrigen Charakter der Beobachtungsfehler kann man sich leicht überzeugen. So setzt sich z. B. der Fehler des in üblicher Weise in zwei Fernrohrlagen gemessenen Horizontalwinkels ungerechnet einer Drehung der Unterlage aus 28 Elementarfehlern (4 Einstellfehler, 8 Ablesefehler, 8 Kreisteilungsfehler, 8 Nonienteilungsfehler). zusammen. Aber auch dann, wenn scheinbar einfache Verhältnisse vorliegen wie bei der Einschätzung der Lage eines Teilstriches in einem Felde, handelt es sich um einen physiologisch recht komplizierten Vorgang, da das Zustandekommen der Strichbilder durch die Vermittlung einer sehr großen Zahl von Sehstäbchen erfolgt. Jedes der bei der Bildentstehung mitwirkenden Stäbchen gibt gewissermaßen ein mit einem Fehler, dem Elementarfehler, behaftetes Urteil über die Strichlage ab.
Die einfachen Beziehungen (16) bzw. (17) entsprechen dem Gaußschen Fehlergesetze. Sie lauten anders, wenn es sich, wie z. B. bei den Abrundungsfehlern, um Fehler handelt, die einem anderen Gesetze gehorchen.
Die einfachen Beziehungen (16) bzw. (17) entsprechen dem Gaußschen Fehlergesetze. Sie lauten anders, wenn es sich, wie z. B. bei den Abrundungsfehlern, um Fehler handelt, die einem anderen Gesetze gehorchen.
Er könnte durch eine geringe Parallelverschiebung — strenggenommen durch eine Drehung und Parallelverschiebung — der ausgleichenden Geraden vollständig zum Verschwinden gebracht werden.
Aus (32) folgt: a) der bestimmte relative Fehler eines Produktes ist gleich der Summe der relativen Faktorenfehler, b) der bestimmte relative Fehler eines Quotienten ist die Differenz: relativer Fehler des Zählers minus relativer Fehler des Nenners.
Eine große Zuverlässigkeit besitzt diese Art der Fehlerermittlung — wie auch die ganze Ausgleichung — nicht, da sie sich nur auf den einen Widerspruch w stützt.
Besteht dieser lineare Zusammenhang nicht von vornherein, so kann man ihn nach Einführung von guten Näherungswerten der Unbekannten mit Hilfe des Taylorschen Satzes leicht herstellen.
Zur Entwicklung der Instrumentenkunde siehe J. A. Bepsold: Zur Geschichte der astronomischen Meßwerkzeuge von Purbach bis Reichenbach 1450–1830. Leipzig 1908. — Ein vorbildliches Werk über Instrumentenkunde sind Voglers Abbildungen geodätischer Instrumente (mit Text). Berlin 1892.
Siehe Delambre: Base du système métrique decimal (3 Bände). Paris 1806, 1807, 1810. Zur Frage der Längenmaße siehe auch G. Berndt: Grundlagen und Geräte technischer Längenmessungen, 2. Aufl. Berlin 1929.
Nach Vergleichungen des Maßstabs mit der Peru-Toise auf dem Komparator von Lenoir.
In Wirklichkeit ist es um 13,355 μ kürzer als das legale Meter. Daher ist beim Übergang auf internationale Meter zum Logarithmus einer in legalen Metern ausgedrückten Länge der Betrag von + 58•10-7 zu addieren.
Zu verschiedenen Zeiten wiederholte Vergleichungen haben eine geringe Veränderlichkeit der absoluten Maßstabverbesserung ergeben.
Auf die Einführung des internationalen Meters als gesetzliche Längeneinheit im Deutschen Reiche beziehen sich die Novelle zur Maß- und Gewichtsordnung v. 26. IV. 1893 sowie das Gesetz über die Maß- und Gewichtsordnung v. 30. V. 1908. Die Bezeichnung der Maße (und Gewichte) ist zuletzt durch Bundesratsbeschluß v. 14. XII. 1911 geregelt worden. Das metrische Maßsystem selbst war im Norddeutschen Bunde schon 1868 eingeführt und 1872 auf das ganze Deutsche Reich ausgedehnt worden.
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Näbauer, M. (1932). Elemente der Fehlertheorie. In: Vermessungskunde. Handbibliothek für Bauingenieure, vol 1/4 . Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41866-6_2
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