Meromorphe Funktionen endlicher Ordnung

Zusammenfassung

Wir hatten im Laufe der vorhergehenden Darstellung schon mehrmals Gelegenheit, zu bestätigen, daß der Grad der Transzendenz einer meromorphen Funktion sich im Anwachsen der Charakteristik T(r) widerspiegelt. Faßt man diejenigen meromorphen Funktionen, für welche die Charakteristik von einer bestimmten Größenordnung ist, zu einer Klasse zusammen, so wird die Struktur der Funktionen einer solchen Klasse um so komplizierter sein, je höher jene Wachstumsordnung ist. So haben wir gefunden, daß die Funktionen, welche im Einheitskreis eine beschränkte Charakteristik haben, unter allen für |z|<1 meromorphen Funktionen sich durch gewisse einfache Eigenschaften auszeichnen. Sie haben z. B. fast überall auf der Peripherie |z|=l bestimmte Randwerte, während entsprechendes für nichtbeschränktartige Funktionen i. a. nicht mehr gilt. Im Falle einer in der ganzen Ebene z ǂ ∞ meromorphen Funktion hat wiederum die Beschränktheit der Charakteristik das Konstantwerden der Funktion zur Folge. Die rationalen Funktionen besitzen die Eigenschaft T(r)=O(logr), und für eine transzendente Funktion wächst das Verhältnis T(r): logr für r → ∞ über alle Grenzen¹.