Die Riemannsche Fläche einer einwertigen Funktion

Zusammenfassung

Bisher haben wir die Theorie der für |z|<R≦∞ eindeutigen Funktionen w = w (z) untersucht, ohne uns im allgemeinen um das Bild zu kümmern, welches man vermöge der gegebenen Zuordnung z → w in der Ebene der Veränderlichen w erhält. Im ersten Abschnitt haben wir allerdings schon die Riemannschen Flächen eingehend untersucht, welche zu den speziellen automorphen Abbildungsfunktionen w (z; a ₁,..., a _q ) gehören (universelle Überlagerungsflächen der an q Stellen punktierten Ebene); und wir haben im Laufe unserer Darstellung wiederholt vom allgemeineren Begriff der universellen Überlagerungsfläche eines beliebigen, in der w-Ebene gelegenen schlichten Gebietes Gebrauch gemacht. Auch diese Flächen sind insofern noch als sehr spezielle zu betrachten, als auch die ihnen entsprechenden Abbildungsfunktionen automorph sind. Nun liefern gerade die automorphen Funktionen und die ihnen zugeordneten regulär verzweigten Riemannschen Flächen recht oft die interessantesten Beispiele für die allgemeine Wertverteilungslehre. Dessen ungeachtet wird es nützlich sein, einige allgemeine Eigenschaften der Flächen kennen zu lernen, die vermittels einer beliebigen eindeutigen, für |z|< R≦∞ meromorphen Funktion als Abbild jenes Kreises entstehen.