Existenz und Eindeutigkeit der Lösung im erweiterten Sinne von Δ₂ u = 0 für beliebige Gebiete

Zusammenfassung

Von den Koeffizienten des Differentialausdruckes Δ₂ u setzen wir zweimalige stetige Differenzierbarkeit voraus, wobei die zweiten Ableitungen einer Hölder-Bedingung genügen sollen. Unter Wahrung dieser Forderungen denken wir uns die Koeffizienten-Matrix ein für allemal in den ganzen Raum derartig fortgesetzt, daß sie außerhalb einer hinreichend großen Kugel in die Einheitsmatrix übergeht. Die zweimal stetig differenzierbaren Lösungen einer Differentialgleichung Δ₂ u = 0 mögen kurz „reguläre Potentialfunktionen“ heißen, während wir die entsprechenden Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung Δu = 0 als „reguläre spezielle Potentialfunktionen“ bezeichnen. Unter einem Gebiet verstehen wir stets eine beliebige zusammenhängende und dreidimensional offene Punktmenge, deren sämtliche Randpunkte eine beschränkte Menge bilden. Ist das Gebiet nicht beschränkt, so nehmen wir den unendlich fernen Punkt P _∞ zum Rand hinzu. Die Randwerte dürfen von irgendeiner auf der abgeschlossenen Randpunktmenge stetigen Funktion f(p)⁵) gebildet werden. Für „glatte Gebiete“, das heißt solche, deren Rand (nötigenfalls von P _∞ abgesehen) aus endlich vielen stetig gekrümmten Flächen besteht, ist die erste Randwertaufgabe im strengen Sinne lösbar; z.B. läßt sich die von W. Sternberg⁶) für einfach zusammenhängende glatte Gebiete entwickelte Methode auf beliebige glatte Gebiete genau so wie in der speziellen Potentialtheorie übertragen.