Advertisement

Zusammenfassung

Die Unvollkommenheit der Mac-Laurinschen Summenformel besteht, wie in § 3 gesagt, darin, dass dabei eine Abschätzung des begangenen Fehlers nicht möglich ist. Eine solche Abschätzung ist bei allen unendlichen Beinen unerlässlich, bei den hier zur Verwendung kommenden aber um so mehr, als deren Glieder in die B. Z. multiplicirt sind und deshalb wegen des raschen Wachsthums der letzteren (s. § 2, (13) und (16)) sehr oft anfänglich abnehmen und dann wachsen. Reihen dieser Art heissen halb-convergent und haben gegenüber convergenten, bei denen der Fehler beliebig klein gemacht werden kann, die Eigentümlichkeit, dass derselbe nicht mit Sicherheit unter eine bestimmte Grenze sich herabdrücken lässt. Die Aufstellung eines Restgliedes ermöglicht es, zu erkennen, welche untere Fehlergrenze im gegebenen Falle überhaupt erreichbar ist, und wie weit, um sie zu erreichen, die Rechnung geführt werden müsste. Hiernach bleibt zu entscheiden, ob die erzielbare Genauigkeit ausreicht; dies ist aber häufig der Fall, und man wird oft sogar nach Beurtheilung des möglichen Fehlers in der Lage sein, die Rechnung schon vor dem Gliede genauesten Resultates schliessen zu dürfen, so dass die halbconvergenten Reihen vielfach äusserst nützliche Berechnungsmethoden liefern.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 1).
    Zweiter Theil. in der Abhandlung über die Bernoullischen Functionen und die halbconvergenten Reihen.Google Scholar
  2. 1).
    Dieselbe ist (unter dem Namen der Bernoullischen Function) ziemlich gleichzeitig von Raabe und Malmstén discutirt worden. (Vgl. § 12 am Anfang.) In der Maimsténschen Abhandig. stehen u. A. die im Text mit (13), (16) u. s. w. bezeichneten wichtigen Gleichungen.Google Scholar
  3. 1).
    Der Gedanke von Nr. 3. und 4. und insbesondere die Gleichung CVII rührt von Herrn Schlömilch her (s. a. a. O.). Die Einschränkung des Arguments r auf die Grenzen 0 bis 1/2 kann unter Umstanden von Wichtigkeit werden.Google Scholar
  4. 1).
    Sitzungsberichte der Kgl. Sächsischen Gesellsch. der Wissensch. Bd. 13 (1861), S. 120 oder Comp. d. höh. Anal. II an betreffender Stelle.Google Scholar
  5. 1).
    Siehe Zeitschr. f. Math. u. Physik, 37ter Jahrg. (1892), S. 378.Google Scholar
  6. 2).
    Euler, Cale. diff. t, II cap. VI §143; Mascheroni Adnotationes ad Calc. Int. Eulen. Ticini, 1790 bis 92, woselbst die Constante auf 32 Stellen angegeben wird (I. Theil S. 11, S. 60, und an anderen Stellen).Google Scholar
  7. 3).
    Methodus differentialis, London 1730, p. 135.Google Scholar
  8. 1).
    Siehe Serret-Harnack, Differentialrechnung S. 173.Google Scholar
  9. 2).
    Siehe Schlomilch Comp. d. höh. Anal. I §40.Google Scholar
  10. 1).
    Novi Commentarii Petrop. t. XIII (1769), p. 3.Google Scholar
  11. 2).
    Euler spricht es allerdings aus, dass m eine beliebige Zahl sein kann, doch bedarf dies jedenfalls noch besonderer Untersuchungen und Deutungen.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1893

Authors and Affiliations

  • Louis Saalschütz
    • 1
  1. 1.Universität KönigsbergRussia

Personalised recommendations