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Zusammenfassung

Die ersten Formeln für die unabhängige DarsteHungsweise der B. Z. rühren von Laplace und Eytelwein her. Dieselben sollen hier mittels Modification eines Eulerschen Gedankens aus einem und demselben Princip abgeleitet werden.

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Referenzen

  1. 1).
    Calc. diff. II, cap. V1I § 185.Google Scholar
  2. 1).
    Auf den letzten Passus kommen wir später zurück.Google Scholar
  3. 2).
    ib. cap. I § 9.Google Scholar
  4. 1).
    Siehe Mémoire sur l’usage etc., in den Mém. de l’Acad. des Sciences à Paris 1777, p. 99 ff. (insbesondere p. 106 bis 109). oder Lacroix, Traité des différences t. III 2de Edit. p. 114.Google Scholar
  5. 1).
    Die Gleichungen (3), (4), (5) sind identisch mit den Gleichungen (1), (2), (4) des § 4; die Richtigkeit der Gleichungen (1) und (2) erkennt man (falls man nicht in (3) und (4) ix statt x einsetzen mag), indem man mit dem Nenner der linken Seite heraufmultiplicirt, für e x und e -x die Reihen einsetzt, die Coeffi-cienten von x 2m, bez. x 2m+1 beiderseits vergleicht und sich von der Identität der entstehenden Recursionsformeln für die α und die β mit XIII, bez XIV (§ 4) überzeugt.Google Scholar
  6. 2).
    Math. Abhdl., Berlin 1825, erste Abhandlung (vgl. oben § 4). Schlö-milch stellt die in Rede stehende Ableitung in kürzerer Art dar (J. für Math. Bd. 32 (1846), S. 360), citirt dabei aber irrthümlicher Weise statt der genannten Scherkschen Abhdl. diejenige desselben Verfassers im 4 ten Bande des Journals für Mathematik.Google Scholar
  7. 3).
    Grunerts Archiv 16ter Bd. (1850), S. 411.Google Scholar
  8. 4).
    Vgl. Schlömilch, Compend. der höh. Analysis II, Abhandl. über die höheren Differentialquotienten.Google Scholar
  9. 1).
    Die Gleichungen LIII′, LIII′a, LIV′, LIV′a finden sich auch bei Worpitzky als form. (81), (82), (86), (87).Google Scholar
  10. 2).
    Über einen allgemeinen die B. Z. und die Coefficienten der Secantenreihe zugleich darstellenden Ausdruck. J. für Math. Bd. 4, S. 299 (1829).Google Scholar
  11. 1).
    Cale. diff. II, cap. VII, § 173 — Lacroix, Traité des différences (t. III des Traité du calcul diff. etc.) p. 107 ff. — Beide Citate rühren von Scherk her.Google Scholar
  12. 1).
    Siehe bei Worpitzky form. (84). — Die Scherksche Formel findet sich daselbst als form. (88).Google Scholar
  13. 1).
    Die erste dieser beiden Gleichungen findet sich bei Worpitzky als form. (61).Google Scholar
  14. 1).
    Résumés analytiques, Turin 1833, p. 33 ff.Google Scholar
  15. 2).
    Vergl. Cauchy a. a. O. p. 70.Google Scholar
  16. 1).
    Grunerts Archiv, 9. Bd. (1847) S. 333: Relationen zwischen den Facultäten-coefficienten, — Die im Text angegebene Form rührt von Schlömilch her, während Bauer die Combinationen der Brüche 1, 1/2, 1/3, ... 1/m verwendet.Google Scholar
  17. 1).
    Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen. J. für Math. Bd. 94 (1883) S. 203.Google Scholar
  18. 2).
    Die Jacob-Bernoullische Function”, Zürich 1848 und J. für Math. Bd. 42 (1851) S. 348. Ziemlich gleichzeitig hat auch Malnistén (J. für Math. Bd. 35 (1847) S. 55) einige Hauptsätze über diese Function entwickelt (vgl. später § 21). Später ist es Herrn Schlömilch gelungen, die ganze Discussion durch Darstellung der Bernoullischen Function als Differential quotient sehr wesentlich zu vereinfachen. (Zeitschr. für Math, und Physik, Bd. 1 (1856) S. 193 und Comp, der höh. Analysis, liter Bd. an betreffender Stelle.) Auch Hermite ist auf dieselbe in einem Briefe an B or char d t nochmals zurückgekommen (J. f. Math. Bd. 79 (1875) S. 339). — Wir beabsichtigen nicht eine nähere Discussion über die Bernoullischen Functionen zu geben, sondern wir werden, ohne dadurch Lücken entstehen zu lassen oder besonders umständlich zu sein, das Erforderliche darüber an betreffender Stelle aus unseren Formeln ableiten.Google Scholar
  19. 1).
    Diese Gleichungen sowie auch (6) oder (11) und die folgenden LXIX sind Herrn Worpitzky eigentümlich (a. a. 0. form. (58), (62) u. s. w.).Google Scholar
  20. 1).
    Worpitzky form. (66).Google Scholar
  21. 1).
    Meditationes algebraicae, 3. Aufl. Cambridge 1782, S. 1.Google Scholar
  22. 2).
    J. für Math. Bd. 26 (1843) S. 88. — Stern, von dem auch die weiterhin folgenden Gleichungen LXXII bis LXXV herrühren, wendet dabei die ursprünglichen Formen (5) und (6) an.Google Scholar
  23. 1).
    Siehe Serret, Höhere Algebra (deutsch von Wertheim) 1. Bd. § 20LGoogle Scholar
  24. 1).
    Die Gleichung LXXIX entsteht auch aus XVII, wenn man darin für αm-1, α m-2 u. s. w. die Gleichung XV verwendet, und ebenso entsteht aus XV mittels XVIIIa eine für die Secantencoefficienten. Verfasser bemerkt noch persönlich, dass er durch die Resultate der obigen Substitutionen (36) und (37) auf die Anwendung der Newtonschen Formeln und das, was damit zusammenhängt, in Nr. 1 dieses Paragraphen geführt wurde.Google Scholar
  25. 1).
    Plana, wie Catalan angiebt in den Mém. de l’Académie de Turin 1820, Abel, Oeuvres complètes t. II. AbhandL XVIII, 2 (p. 235). Beide haben dasselbe, im Text als LXXXIV bezeichnete, Integral angegeben.Google Scholar
  26. 1).
    Grunerts Archiv L Bd. (1841) S. 360 und 3. Bd. (1843) S. 9.Google Scholar
  27. 1).
    Die Gleichungen LXXXIV bis LXXXVI werden in dem zweiten Aufsatz (a. a. O. 3. Bd.) auf anderem interessantem Wege entwickelt.Google Scholar
  28. 3).
    Abel benutzt umgekehrt die Gleichung § 2, (12) zur Auffindung des Integrals LXXXIV, so dass die Ableitung Schlömilchs, als von einfacheren Voraussetzungen ausgehend, vorzuziehen ist.Google Scholar
  29. 3).
    Grunerts Archiv Bd. 6, S. 438.Google Scholar
  30. 1).
    Nach Angabe Catalan’s in Cah. XVIII des Journal de l’École Polytechnique.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1893

Authors and Affiliations

  • Louis Saalschütz
    • 1
  1. 1.Universität KönigsbergRussia

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