Zusammenfassung
Gegeben sei ein kommutativer Ring B mit Einselement 1. Es seien p 1, p 2, p 3,... Unbestimmte, und es werde p 0 = 1 gesetzt. Wir adjungieren die Unbestimmten p i zu B und erhalten den Ring B = B [p 1, p 2,...] aller Polynome in den p i mit Koeffizienten in B. Der Ring B werde in der folgenden Weise graduiert:
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Literatur
Es werde daran erinnert, daß eine abgeschlossene Untergruppe einer LiEschen Gruppe immer eine LlEsche Untergruppe ist. Eine abgeschlossene Untergruppe einer komplexen L’Eschen Gruppe braucht jedoch keine komplexe Lresche Untergruppe zu sein. — Im vorliegenden Fall läßt sich aber leicht beweisen, daß (für eine komplexe LlEsche Gruppe G) der Normalteiler N eine komplexe LlEsche Untergruppe ist. G/N ist also auch eine komplexe LlEsche Gruppe.
Die Existenz eines lokalen differenzierbaren bzw. holomorphen Schnittes, die in den Sätzen 3.4.2 bzw. 3.4.3 behauptet wurde, läßt sich durch Einführung kanonischer Koordinaten in der Umgebung des Einselementes von G beweisen. In den in dieser Arbeit explizit vorkommenden Fällen läßt sich die Existenz eines lokalen Schnittes immer leicht direkt nachweisen.
Die Richtigkeit dieser Behauptung kann mit Hilfe von (1), dem STEENRODsehen Approzimationssatz (jeder stetige Schnitt in einem diffcrenzierbaren Faserbündel über X kann durch differenzierbare Schnitte beliebig genau approximiert werden (vgl. [351, 6.7)) und dem Alassifihationssalz für die kompakte Eiasche Gruppe G° (vgl. [35[, 19.3 und 19.6) bewiesen werden. - Man kann bereits zeigen, daß alle Abbildungen im Diagramm (1*) eineindeutig-auf sind, wenn man nur voraussetzt, daß G eine zusammenhängende Lusche Gruppe ist, daß G° eine abgeschlossene (nicht notwendigerweise kompakte) Eiasche Untergruppe von G ist und daß G/G ( ’ eine Zelle ist. Man verwende den Satz, daß der Quotientenraum einer zusammenhängenden Liaschen Gruppe modulo einer maximalen kompakten Untergruppe eine Zelle ist (vgl. [35I, 12.14).
Die CHExxschen Klassen werden als ganzzahlige Cohomologieklassen von X definiert. Die Cohomologiegruppen eines topologischen Raumes X mit Koeffizienten in einer additiven Gruppe A sind, wenn nichts anderes erwähnt wird, im Sinne der CEcuschen Theorie [mit beliebigen Trägern (supports)] zu verstehen. Hi(X,A) ist also die i-te Cohomologiegruppe von X mit Koeffizienten in der konstanten Garbe A (vgl. 2.5, Beispiel 1 und 2.6). Die direkte Summe H*(X, A) = EHi(X, A) ist ein Ring bezüglich des Cup-Produktes. Für lokal-endliche Polyeder, insbesondere für differenzierbare Mannigfaltigkeiten, ist Hi(X,A) in natürlicher Weise mit der entsprechenden simplizialen Cohomologiegruppe isomorph (vgl. [13], S. 250).
Wir verwenden den folgenden Dimensionsbegriff: Die Dimension von X ist dann und nur dann n,wenn es zu jeder tTberdeckung /1 von X (vgl. § 2) eine Verfeinerung 2ï von Il gibt, derart, daß jeder Punkt von X in höchstens n - 1 Mengen von 23 enthalten ist. - Da die Cohomologiegruppen von X mit Koeffizienten in einer Garbe e auch durch „alternierende“ Coketten usw. definiert werden können (vgl. [32a1), verschwinden die Cohomologiegruppen Hi(X, Ces) für i dim (X).
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Hirzebruch, F. (1956). Vorbereitungen. In: Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol N. F., 9. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-41083-7_2
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