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Zusammenfassung

Unter einer ebenen Platte ist eine Scheibe zu verstehen, die von zwei parallelen Ebenen im Abstande h und einer senkrecht zu diesen Ebenen stehenden, im übrigen beliebig gestalteten Randfläche begrenzt ist (Abb. 1).

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Referenzen

  1. 1).
    Der Leser findet die Ableitung dieser Gleichungen, welche die Grundlage der mathematischen Elastizitätstheorie bilden, in den bekannten Lehrbüchern von Föppl: Vorlesungen über technische Mechanik Bd. III, 5. Auflage, Abschn. 11 ; Lorenz: Technische Elastizitätslehre, Kap. VI; Bach: Elastizität und Festigkeit, 7. Auflage, Abschn. 9.Google Scholar
  2. 1).
    Diese Gleichung ist nur für steife Platten mit sehr kleinen Verschiebungen ζ streng gültig. Bei Platten mit geringer oder verschwindender Steifigkeit treten bei einer starken Ausbiegung auch in der Mittelfläche Normalspannungen auf, die in den Gleichgewichtsbedingungen für die Belastung p nicht außer acht gelassen werden dürfen. Der beträchtliche Einfluß dieser Spannungen auf die Tragfähigkeit der Platten ist von A. Föppl in seiner Technischen Mechanik Bd. V, S. 132 f., von A. und L. Föppl in Drang und Zwang Bd. I, S. 216 f. und von H. Hencky in seiner Arbeit über die Berechnung dünner Platten mit verschwindender Biegungssteifigkeit in Bd. I, S. 81–99 der Zeitschr. f. angew. Mathematik u. Mechanik ,1921, nachgewiesen worden.Google Scholar
  3. 2).
    Die Differentialgleichung der elastischen Fläche ist zuerst von Lagrange im Jahre 1813 abgeleitet worden. Die vollständige Theorie der Platten mit kreisförmiger Symmetrie wurde 1829 von Poisson entwickelt. Die allgemeinen Randbedingungen der Aufgabe wurden insbesondere von Kirchhoff untersucht und 1876 endgültig von Kelvin und Tait klargelegt. Die Lösung der Differentialgleichung für unsymmetrische und unstetige Belastungen ist im letzten Jahrhundert nicht gelungen und wurde daher 1907 von der Pariser académie des Sciences als Preisaufgabe für den Prix Vaillant ausgeschrieben. Ein ausführlicher Bericht über „Neuere Fortschritte der technischen Elastizitätstheorie“ ist von Herrn Professor L. Föppl in Bd. 1, H. 6 der Z. f. ang. Math. u. Mech. veröffentlicht worden.Google Scholar
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  5. 2).
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  6. 1).
    Die Abhandlung von Navier, im Jahre 1820 verfaßt, wurde erst von Saint-Venantin der französischen Ausgabe der Festigkeitslehre von Clebseh 1883 veröffentlicht.Google Scholar
  7. 2).
    Cpt. rend. hebdom. des séances de l’acad. des sciences Bd. 129. 1899.Google Scholar
  8. 3).
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    Simic: Ein Beitrag zur Berechnung rechteckiger Platten. Z. öst. Ing.-V. 1908.Google Scholar
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  12. 7).
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    Vgl. Föppl, A.: Vorlesungen über technische Mechanik Bd. V, § 30.Google Scholar
  14. 1).
    In gleicher Weise, wie die Ordinaten der Seillinie erst durch die Wahl einer Schlußlinie bestimmt sind, muß auch bei der elastischen Haut durch die Lösung der homogenen Differentialgleichung Lage und Gestalt der Schlußfläche, von welcher aus die Ordinaten der Haut abgemessen werden sollen, festgelegt werden.Google Scholar
  15. 1).
    Die Möglichkeit, partielle Differentialgleichungen durch Umwandlung in Differenzengleichungen zu lösen, ist in der Elastizitätstheorie zuerst von Runge bei der Behandlung des Torsionproblems und in der Hydrodynamik von englischen Forschern benutzt worden. Ein ausführlicher Bericht von H. Hencky über die numerische Bearbeitung von partiellen Differentialgleichungen in der Technik ist in Bd. 2, H. 1 der Z. ang. Math. Mech. zu finden.Google Scholar
  16. 1).
    Herr N. S. Nielsen hat in seiner verdienstvollen Arbeit „Bestemmelse af Spoendinger i Plader ved anvendelse af Differensligninger“ (Kopenhagen: G. E. C. Gad 1920) für eine Reihe wichtiger Aufgaben der Plattentheorie die zur Lösung der dreizehngliedrigen Differenzengleichung erforderlichen Rechnungen mit großer Sorgfalt durchgeführt.Google Scholar
  17. 1).
    Die eigenartige Gliederung der sechseckigen Streifen erinnert an die Verteilung der Zellen von Bienenwaben: das hexagonale Gewebe könnte daher auch mit Recht als Bienengewebe bezeichnet werden.Google Scholar
  18. 1).
    Der Leser findet einen ausführlichen Bericht über die Ergebnisse der Plattenversuche in § 5 der Abhandlung des Verfassers über „die Theorie elastischer Gewebe und ihre Anwendung auf die Berechnung elastischer Platten“ in „Armierter Beton“ 1919, H. 10 u. 11. Die neuen Versuche von Nadai sind in seinem Vortrag über „die Theorie der Plattenbiegung und ihre experimentelle Bestätigung“ (Z. ang. Math. Mech. 1922, H. 5) besprochen.Google Scholar
  19. 2).
    Vgl. den Aufsatz von Meyer, E. und W. Pinegin: Über einen Apparat zur unmittelbaren Bestimmung der Querdehnung nebst Versuchsergebaissen am Gußeisen, in Dingler 1908, H. 19, S. 292. — Ausführliche Angaben über das Verhältnis von Längs- und Querdehnungen bei Eisenbetonsäulen befinden sich in den Versuchsberichten von Rudeloff in H. 5 u. 21 der Veröffentlichungen des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton.Google Scholar
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    Vgl. v. Bach, C.: Versuche mit allseitig aufliegenden, quadratischen und rechteckigen Eisenbetonplatten. Berlin: W. Ernst u. Sohn 1915. In dem Versuchsbericht sind die lotrechten Verschiebungen z für ein Netz von Punkten angegeben. Die aus den gemessenen Werten z errechneten zweiten Differenzen (Δ2z)x, (Δ2z)y stellen die Krümmung der Platte dar und geben einen Anhalt über die Größe der entsprechenden Dehnungen. — Ich habe für Platten und Balken von gleicher Steifigkeit, aber verschiedenen Längenverhältnissen, diese zweiten Differenzen ermittelt, die zugehörigen Dehnungen verglichen und hierbei festgestellt, daß die Platten durchweg stärkere Formänderungen als die entsprechenden Balken erfahren haben.Google Scholar
  21. 2).
    Die in meiner Abhandlung (in „Armierter Beton” 1919, H. 11) vorgeschlagenen Versuche werden mit Hilfe einer vom Verfasser entworfenen Versuchsvorrichtung im Auftrage des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton in der Prüfungsanstalt der Dresdner Hochschule ausgeführt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1924

Authors and Affiliations

  • H. Marcus
    • 1
  1. 1.HUTA, Hoch- und Tiefbau-AktiengesellschaftBreslauPolen

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