Zur polyedrischen Charakterisierung des azyklischen Subgraphproblems

Zusammenfassung

Das azyklische Subgraphproblem ist die Aufgabe, in einem gegebenen gerichteten Graphen (Digraphen) D = (V,A) mit Kantengewichten c_a, a ∈ A eine Kanten menge B ⊂ A maximalen Gewichts zu bestimmen, die keinen gerichteten Zyklus enthält. Wir definieren einen Polytopen P_AC(D), dessen Ecken den zulässigen Lösungen des azyklischen Subgraphproblems für D = (V,A) entsprechen. Wegen der NP-Vollstandigkeit des Problems ist es unwahrscheinlich, daß eine algorithmisch brauchbare vollständige Facettialbeschreibung von P_AC(D) gefunden werden kann. Es ist jedoch möglich, eine nichtredundante partielle Beschreibung dieses Polytopen aus facetteninduzierenden linearen Ungleichungen anzugeben, aus der sich unter anderem die polynomiale Lösbarkeit des Problems für eine große Klasse von Digraphen (schwach azyklische Digraphen) herleiten läßt. Dies generalisiert ein Resultat von Lucchesi für planare Digraphen. Aber auch für beliebige Digraphen D = (V,A) liefert diese partielle Beschreibung von P_AC(D) eine Grundlage zur Entwicklung von Schnittebenenverfahren, die im Rahmen eines Branch-and-Bound-Ansatzes die praktische Lösung großer verwandter Anwendungsprobleme (z. B. Triangulationsproblem, Reihenfolgeprobleme) ermöglichen.

Abstract

The acyclic subgraph problem can be formulated as follows. Given a directed graph (digraph) D = (V,A) with arc weights c_a , a ∈ A, find a set of arcs B ⊂ A A containing no directed cycle and having maximum total weight . We define a poly-tope P_AC(D) whose vertices correspond to the feasible solutions of the acyclic subgraph problem for D = (V,A). Due to the NP-completeness of the problem an algorith-mically exploitable complete facial description of P_AC(D) is unlikely to be found. However, it is possible to present a nonredundant partial description of the poly-tope by a system of facet inducing linear inequalities which implies the polynomial solvability of the problem for a large class of digraphs (weakly acyclic digraphs). This generalizes a result of Lucchesi for planar digraphs. But also for arbitrary digraphs D = (V,A) this partial description of P_AC(D) yields a basis for the development of cutting plane procedures which, combined with branch-and-bound techniques, allow the practical solution of related large-scale real-world problems (e. g. triangulation problem, scheduling problem).