Zusammenfassung
Ein Ausdruck der Gestalt
wird eine unendliche Reihe genannt. Die Glieder a1, a2, a3, . . . seien vorerst reelle Konstanten.
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Literatur
Reihe bedeutet im folgenden stets unendliche Reihe.
Der Satz könnte deshalb ebensogut Divergenzkriterium genannt werden, da stets nur auf die Divergenz einer Reihe geschlossen wird: Anwendung einer notwendigen Bedingung in der kontraponierten Form. Vergleiche dazu nochmals II. 3.2.4.
major (lat.) der Größere, minor (lat.) der Kleinere.
Auch Kriterium von d’Alembert (französischer Mathematiker und Enzyklopädist, 1717 ••• 1783) genannt.
Beachte hierzu nochmals II. 3.1.3 (Beispiele!).
Mit dieser Schreibweise soll hier lediglich abkürzend zum Ausdruck gebracht werden, daß (math) geht für n → ∞.
Es genügt, wenn dieses Verhalten der Reihe von einer Stelle k ≧ 1 ab eintritt. 2) Reihen mit lauter positiven Gliedern sind trivialerweise absolut konvergent. Ihre Glieder können beliebig umgestellt werden.
An dieser Stelle sei bemerkt, daß sich an der Konvergenz bzw. Divergenz einer unendlichen Reihe nichts ändert, wenn man beliebig endlich viele Glieder hinzunimmt oder wegstreicht.
Diese Funktionsreihe ist gemäß unserer Definition keine Potenzreihe in x mehr, wohl aber eine Potenzreihe in (math)
Fehlerabsehätzung bei einer alternierenden Reihe: Bricht man die Reihe nach dem n-ten Gliede ab (berechnet also s n), so liegt der begangene Fehler unter dem Betrage des (n + 1) ten Gliedes: (math). Im vorliegenden Falle ist(math)
C. Maclaurin (1698 ••• 1746), schottischer Mathematiker.
Es gibt tatsächlich Funktionen, die formal in eine konvergente Maclaurinsche Reihe entwickelt werden können und bei denen die Reihe die Funktion nicht darstellt. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion (MATH) ihre Entwicklung in eine MACLAURIN-Reihe liefert die Funktion φ (x) = 0 ≠ f(x).
Er wird vom Ingenieur-Studenten nicht verlangt und ist deshalb hier auch nicht im einzelnen durchgeführt. Der Studierende muß sich aber des Sachverhaltes (1) und speziell der Tatsache bewußt sein, daß zu jeder Potenzreihenentwicklung einer Funktion stets eine konkrete Angabe des Gültigkeitsbereichs für x gehört, andernfalls kann man mit der Entwicklung praktisch nichts anfangen.
Man vergleiche auch 1.3.15, wo die Linearisierung für kleine |x| bei einigen Funktionen ohne Kenntnis der Differentialrechnung vorgenommen wurde.
Gerade Funktionen besitzen also eine Reihenentwicklung mit nur geraden x-Potenzen und entsprechend treten in der Potenzreihenentwicklung ungerader Funktionen ausschließlich ungerade x-Potenzen auf.
P 0 (x) und P 2 (x) wurden elementar bereits in I. 3.15 hergeleitet.
Mit P 6 (x) ist in diesem Falle auch P 7 (x) bestimmt; deshalb ist das Restglied für n + 1 = 8, d. h. R 8 , abzuschätzen.
Die von Polynomidentitäten her bekannte Methode des Koeffizientenver-gleiehs (vgl. I. 1.2.2) findet hier also eine Verallgemeinerung auf konvergente Potenzreihen.
Dieser Fall ist natürlich nur ein Sonderfall des ersten, falls man dort g(x) ≡ 1, also b 0 = 1, b x = b 2 = • • • = b n = • • • = 0, setzt.
Wegen (math) ist diese Potenzreihe zugleich die MACLAUBIN-Reihe für die Funktion y = ar tanh x.
Ohne die umseitig stehende Rechnung kann man e 1,4 mit Hilfe des Mittelwertsatzes (vgl. II. 3.6.3) zu e 1,4 < 4,5 nach oben abschätzen.
Die Striche an den Koeffizienten a i bedeuten hier keine Ableitungen, sondern sind reine Anzeigemärken. Im übrigen sei auf I. 1.2.4 hingewiesen.
Hierzu ist erforderlich, daß der Integrand noch für x = 0 den Wert 1 zugeordnet bekommt (Lückenbehebung).
Si(x) von lat. : sinus integralis.
Die Reihe konvergiert im Durchschnitt beider Konvergenzbereiche, nämlich für |x| < 1.
Auch trigonometrisches Polynom genannt (cosw x bzw. sinn x lassen sich nach I.4.10 als Polynome n-ten Grades in cosa; bzw. sin x darstellen!)
Diese Forderung ist also anders als bei den TAYLOR-Reihen ; dort ergaben sich „Schmiegungsparabeln”, hier dagegen „Ausgleichsparabeln” für die s n (x).
J. B. Fourier (1768 ... 1830), französischer Mathematiker.
P. G. L. Dirichlet (1805 ... 1859), deutscher Mathematiker.
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© 1964 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Böhme, O.G. (1964). Unendliche Reihen. In: Einführung in die Höhere Mathematik. Mathematik Vorlesungen für Ingenieurschulen, vol 2. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38479-4_5
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