Zusammenfassung
Die Aufgabe der Differentialrechnung bestand im wesentlichen darin, von einer gegebenen (differenzierbaren) Funktion y = f(x) die Ableitung y’ = f’ (x) zu ermitteln. Die Aufgabe der Integralrechnung ist die umgekehrte: Zu einer gegebenen (stetigen) Ableitungsfunktion f(x) = F’(x) soll die ursprüngliche Stammfunktion F(x), aus der die gegebene Funktion also durch Ableiten hervorgegangen ist, ermittelt werden.
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Literatur
Die Barstellung der Integralfunktion durch den Natürlichen Logarithmus reicht also weiter als die durch den Areakosinus, da sie noch für negative x < — 1 erklärt ist.
Um die Rechnungen nicht unnötig zu erschweren, ist die Angabe des Defimitionsbereiches weggelassen.
Siehe dazu II. 4.3.1.
Bei bestimmten Integralen kann man statt der Eesubstitution die Integrationsgrenzen auf die neue Variable transformieren. Siehe dazu II. 4.3.1.
Der Studierende führe die Beispiele 1 bis 5 auch mit Differentialtransformation und die Beispiele 6 bis 10 auch mit Substitution zur Übung durch!
Zum gleichen Ergebnis führt der Ansatz x == a cost, da a 2 — x 2 = a 2 — a 2 cos2 t = a2sin2 t ebenfalls ein vollständiges Quadrat wird, welches die Wurzel beseitigt.
1Wegen Aresin x + Arc cos x = π/2 (vgl. I. 3.12.3) bestellt zwischen C und C 1 hier der Zusammenhang C 1 — C = π/2.
Andere Bezeichnungen sind Teilintegration oder partielle Integration.
Das Nennerpolynom Q (x) wird in „normierter Form” (Koeffizient der höchsten x-Potenz gleich 1) vorausgesetzt. Dies ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, da sich durch Ausklammern des ersten Koeffizienten und Herausrücken desselben vor das Integral diese Form stets herstellen läßt.
Im folgenden wird A k = A, B k = B gesetzt.
Es sei jedoch darauf hingewiesen, daß es bei manchen Anwendungen, in denen die Fläche eine physikalische Bedeutung hat, sinnvoll ist, das Vorzeichen zu belassen.
Zu diesem Ergebnis gelangte bereits Archimedes in seiner Arbeit „Die Quadratur der Parabel” mit Hilfe der elementaren Exhaustionsmethode.
Zum Beispiel genügt es schon, wenn f(x) in a ≦ x ≦ b beschränkt und stückweise stetig ist.
2) f(x) soll ableitbar und die Ableitung f’(x) noch stetig sein.
Hat man keine Tafel für die Areafunktionen zur Verfügung, so geht man auf die logarithmische Darstellung dieser Funktionen zurück und liest die Werte auf dem Rechenstab ab.
Diese Beziehung ist selbstverständlich als Maßzahlgleichheit zu verstehen.
Statt Flächenschwerpunkt und Linienschwerpunkt würde man besser „Flä-chenmittelpunkt” bzw. „Linienmittelpunkt” sagen, da es sich um einen rein geometrisch bestimmten Punkt handelt, der, ähnlich wie der Massenmittelpunkt eines homogenen Körpers, eine vom Schwerefeld unabhängige Bedeutung besitzt.
P. Guldin (1577 ••• 1643), schweizer Mathematiker.
T. Simpson (1710 • • • 1761), englischer Mathematiker.
Hierzu wurde eine Rechenmaschine mit achtstelligem Umdrehungszählwerk eingesetzt.
Bei jedem stetigen Integranden f(x) gibt es im Innern des Integrationsinter-valls eine Zwischenstelle ξ, für welche die gesuchte Fläche gleich der Beehtecks-flache (b —a) f (ξ) ist:(math)(sog. Mittelwertsatz der Integralrechnung).
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Böhme, O.G. (1964). Integralrechnung. In: Einführung in die Höhere Mathematik. Mathematik Vorlesungen für Ingenieurschulen, vol 2. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38479-4_4
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