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Hilberts Arbeiten über Integralgleichungen und unendliche Gleichungssysteme

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Dritter Band: Analysis · Grundlagen der Mathematik · Physik Verschiedenes

Zusammenfassung

Hilberts Untersuchungen über Integralgleichungen sind aus dem Bestreben entstanden, mit einem einheitlichen theoretischen Ansatz einen möglichst großen Bereich der linearen Probleme der Analysis, darunter speziell die linearen Randwertaufgaben der gewöhnlichen und partiellen linearen Differentialgleichungen und die aus ihnen entspringenden Reihenentwicklungen, zu umfassen. Er verfolgt hier das gleiche Ziel auf einem weiter ausholenden und weiter führenden Wege, das er unmittelbar zuvor mit Methoden der Variationsrechnung (DirichletschesPrinzip, s. Abh. 3 und 4) in Angriff genommen hatte. Charakteristisch für diesen neuen Ansatz und entscheidend für die Art seiner Durchführung ist das Bestreben, einheitliche Tatsachenkomplexe der Analysis als naturgemäße Ausdehnung algebraischer Tatsachen zu erkennen und ihre Herleitung in möglichst weitgehender methodischer Analogie zur Algebra zu vollziehen2. Solche Beziehungen waren bei einzelnen Problemen schon vielfach mehr oder weniger ausdrücklich zum mindesten als heuristisches Hilfsmittel zur Geltung gekommen; sie sollen in dem folgenden kurzen Überblick über das, was Hilbert an Gedanken und Resultaten als Material für seine Theorie vorfand, besonders hervorgehoben werden3.

Das folgende Referat bezieht sich auf die Hilbertschen Abhandlungen „Grundzüge einer allgemeinen Theorie der. linearen Integralgleichungen“, die in den Göttinger Nachrichten, math.-phys. Klasse, veröffentlicht wurden (1. Mitt. 1904, S. 49–91; 2. Mitt. 1904, S. 213–259; 3. Mitt. 1905, S. 307–338; 4. Mitt. 1906, S. 157–227; 5. Mitt. 1906, S. 439–480; 6. Mitt. 1910, S. 355–417) und unter dem gleichen Titel als Buch (Leipzig: B. G. Teubner 1912 und 1924; im folgenden zitiert als „Grundz.”) erschienen sind. Es soll die wichtigsten Resultate dieser Arbeiten, vor allem aber ihren gedanklichen und methodischen Inhalt wiedergeben und ihre Tragweite an einem Teil ihrer umfangreichen Auswirkungen darlegen. Dabei konnten aus der Fülle der Literatur nur solche Untersuchungen erwähnt werden, die Hilbertsche Fragestellungen und Methoden prinzipiell fortbilden oder die direkt an sie anknüpfen, und viele wichtige Arbeiten, die in weniger unmittelbarem Zusammenhange mit ihnen stehen, mußten ungenannt bleiben; zur Ergänzung sei etwa auf den Artikel II C 13, Hellinder-Toeplitz der Encykl. d. math. Wiss. verwiesen.

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Literatur

  1. Das folgende Referat bezieht sich auf die Hilbertschen Abhandlungen „Grundzüge einer allgemeinen Theorie der. linearen Integralgleichungen“, die in den Göttinger Nachrichten, math.-phys. Klasse, veröffentlicht wurden (1. Mitt. 1904, S. 49–91; 2. Mitt. 1904, S. 213–259; 3. Mitt. 1905, S. 307–338; 4. Mitt. 1906, S. 157–227; 5. Mitt. 1906, S. 439–480; 6. Mitt. 1910, S. 355–417) und unter dem gleichen Titel als Buch (Leipzig: B. G. Teubner 1912 und 1924; im folgenden zitiert als „Grundz.”) erschienen sind. Es soll die wichtigsten Resultate dieser Arbeiten, vor allem aber ihren gedanklichen und methodischen Inhalt wiedergeben und ihre Tragweite an einem Teil ihrer umfangreichen Auswirkungen darlegen. Dabei konnten aus der Fülle der Literatur nur solche Untersuchungen erwähnt werden, die Hilbertsche Fragestellungen und Methoden prinzipiell fortbilden oder die direkt an sie anknüpfen, und viele wichtige Arbeiten, die in weniger unmittelbarem Zusammenhange mit ihnen stehen, mußten ungenannt bleiben; zur Ergänzung sei etwa auf den Artikel TI C 13, Hellinder-Toeplitz der Encykl. d. math. Wiss. verwiesen.

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  2. Vgl. die programmatischen Ausführungen in dem für den römischen Kongreß bestimmten Vortrag, Abh. 6 dieses Bandes.

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  3. Vgl. dazu die ausführliche Darstellung der Entwicklung der Probleme der Integralgleichungstheorie in Encykl. II C 13, Abschn. I.

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  4. Petropol. Comm. Bd. 6 (1732/33) S. 108.

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  5. Sturm: J. de math. (1) Bd. 1 (1836) S. 106; Liouville: ibid. Bd. 2 (1837) S. 16.

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  6. Palermo Rend. Bd. 8 (1894) S. 57.

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  7. Le Roux: Ann. Éc. Norm. (3) Bd. 12 (1895) S. 227; Volterra: Rom. Acc. Line. Rend. (5) Bd. 51 (1896) S. 177; Ann. di mat. (2) Bd. 25 (1897) S. 139 und in zahlreichen anderen Veröffentlichungen.

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  8. Fourier: Mém. de l’acad. d. sc. Paris Bd. 4 (1819/20) S. 485. Abel: J. f. Math. Bd. 1 (1826) S. 153.

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  9. Poggend. Ann. der Physik Bd. 98 (1856) S. 137.

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  10. Untersuchungen über das logarithmische und Newtonsche Potential. Leipzig 1877, und in zahlreichen Abhandlungen.

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  11. Acta math. Bd. 20 (1896) S. 59.

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  12. Acta math. Bd. 27 (1903) S. 365 sowie in einigen vorhergehenden Veröffentlichungen seit 1900.

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  13. Vgl. dazu Encykl. II C 13, Nr. 2, 20e, 22.

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  14. Hill: Acta math. Bd. 8 (1886) S. 1. Poincaré: Soc. math. Fr. Bull. Bd. 14 (1886) S. 77. v. Koch: Acta math. Bd. 16 (1892) S. 217 und in zahlreichen anderen Arbeiten seit 1890.

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  15. Aus diesen sind die ersten Publikationen der Hilbertschen Resultate durch die Dissertationen von O. D. Kellogg 1902, Ch. M. Mason 1903, A. Andrae 1903 hervorgegangen (Diss.-Verz. 24, 26, 28).

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  16. Math. Ann. Bd. 89 (1923) S. 161. Vgl. 76 sowie die Darstellung derselben Definition für Randwertprobleme in 17.

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  17. Genaueres über diese Grenzübergänge bei E. Garbe: Diss. Tübingen 1914; tiefere Untersuchungen über die genannten und weitere verwandte Modifikationen der Fredholmschen Determinanten bei H. Poincaré: Acta math. Bd. 33 (1909) S. 57.

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  18. Vgl. etwa W. A. Hurwitz: Am. Math. Soc. Trans. Bd. 16 (1915) S. 121 und A. Kneser: Palermo Rend. Bd. 37 (1914) S. 169. — Für die Literatur über die sämtlichen oben genannten Ausdehnungen vgl. Encykl. II C 13, Nr. 36.

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  19. Diss.-Verz. 30 = Math. Ann. Bd. 63 (1907) S. 433. — Für die zahlreichen Ausgestaltungen und Modifikationen dieser Theorie s. Encykl. II C 13, Nr. 33, 34. Hier sei nur die prinzipiell bedeutsame Anwendung von H. Weyl (Math. Ann. Bd. 97 (1926) S. 338) auf H. Bohrs Theorie der fastperiodischen Funktionen erwähnt, bei der die Integrale durch Mittelwerte über unendliche Intervalle ersetzt werden (vgl. 5°,55).

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  20. Acta soc. fenn. 15 (1885) = Ges. Abh. 1, S. 241.

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  21. HoLNIGREN: Math. Ann. Bd. 69 (1910) S. 498. Wegen weiterer Literatur und der anderen Methoden s. Encykl. II C 13, Nr. 33.

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  22. Philos. Trans. Roy. Soc., Lond. Bd. 209 A (1909) S. 415.

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  23. Vgl. Encykl. II C 13, Nr. 34, 35, 36.

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  24. Summationsindizes, für die nichts anderes angegeben ist, durchlaufen stets alle natürlichen Zahlen 1, 2,...

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  25. In dieser Weise hat A. C. Dixon: Cambr. Trans. Bd. 19 (1902) S. 190 offenbar unabhängig von Fredholm die Integralgleichung 2. Art auf ein unendliches Gleichungssystem zurückgeführt und vollständig gelöst, falls alle eingehenden Funktionen in gleichmäßig konvergente Fourierreihen entwickelbar sind.

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  26. De La Vallée-Poussin: Ann. Soc. sci. Brux. Bd. 17b (1893) S. 18. Hurwitz: Math. Ann. Bd. 57 (1903) S. 425.

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  27. Fischer: C. R. Paris Bd. 144 (1907) S. 1022. RIESZ: ibid. S. 615, Gött. Nachr. 1907 S. 116 und in anderen Arbeiten.

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  28. Analoge Definitionen hierzu und zum folgenden sind mit Hilfe von 2 x, 12 für komplexe Wertsysteme möglich; vgl. 9, 11.

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  29. Math. Ann. Bd. 64 (1907) S. 161. Wegen der Methode vgl. Encykl. II C 13, Nr. 10a, 16d, 20a, 20d.

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  30. Über die zahlreichen anderen mit den dargestellten weniger eng zusammenhängenden Auflösungsmethoden vgl. Encykl. II C 13, Nr. 9, 10 b, 17.

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  31. Diese Methode Hilberts ist auch auf andere Fälle mehrfach direkt angewandt worden, so auf Integralgleichungen von E. Holmgren 21 und R. Courant 16 sowie (mit beliebigen Nebenbedingungen) von W. Cairns, 1907, Diss.-Verz. 39, und auf Funktionaltransformationen von F. Riesz: Math. Ann. Bd. 69 (1910) S. 449.

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  32. Encykl. II C 13, Nr. 41 a, S. 1562f. Für Integralgleichungen s. T. Carleman: C. R. Paris Bd. 172 (1921) S. 655.

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  33. Das ist eine Folge eines Konvergenzsatzes von O. Toerlitz 34, § 10.

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  34. Den Kalkul mit beschränkten Matrizen und die in ihm geltenden Sätze haben E Hellinger und O. Toeplitz: Math. Ann. Bd. 69 (1910) S. 289 im Anschluß an Hilbert dargestellt.

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  35. Mém. say. étr. Paris Bd. 32, nu.. 2 = Ann. fac. se. Toulouse Bd. 8 (1894) J.; Bd. 9 (1895) A.

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  36. Hilbert benutzt gemäß der bei Integralgleichungen üblichen Bezeichnung (-Rfi)-1, während im Text der bequemere und auch hier üblich gewordene Ansatz der Algebra verwendet ist; die Spektren Hilberts bestehen also aus den reziproken Werten der hier eingeführten.

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  37. H. Hahn: Mh. Math. Phys. Bd. 23 (1912) S. 161 hat diese Integrale durch Lebesguesehe ersetzt.

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  38. J. f. Math. Bd. 136 (1909) S. 210.

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  39. J. f. Math. Bd. 144 (1914) S. 212; einige Resultate schon bei O. Toeplitz: Gött. Nachr. 1910 S. 489.

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  40. Stieltjes 38 mit der für den Umfang des Problems nicht wesentlich ins Gewicht fallenden Abweichung, daß das Integrationsintervall von 0 bis co reicht.

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  41. Gött. Nachr. 1910 S. 190; vgl. auch Équat. lin. à une infin. d’inconn. Chap. V. Paris 1913. Für die weiteren, zum Teil auch durch den Hilbertschen Gedankenkreis beeinflußten Untersuchungen über das Momentenproblem vgl. 11 sowie Encykl. II C 13, Nr. 22 d.

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  42. Diss.-Verz. 42, 1908 und Math. Ann. Bd. 66 (1908) S. 273. Kurz vorher hatte E HILB81 hierhin gehörige, aus singulären Randwertaufgaben von Differentialgleichungen entstehende Randwertaufgaben behandelt (vgl. 19).

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  43. Leipz. Ber. Bd. 79 (1927) S. 145 und Spektraltheorie d. unendl. Matr. Leipzig 1929. Halbbeschränkte Operatoren hat neuerdings K Friedrichs untersucht: Math. Ann. Bd. 109 (1934) S. 465, 685.

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  44. Uppsala Univ. ärskr. 1923. Mat. o. nat. 3. Die Theorie wird durch Grenzübergang von regulären Integralgleichungen aus gewonnen, die quadratischen Formen nachträglich (S. 185ff.) als Spezialfall gewonnen. - Eine spezielle Differentialgleichung mit dem Spektrum (- oc, + co) hat übrigens bereits H. WEYL: Math. Ann. Bd. 68 (1910) S. 267 erörtert; in dieser Arbeit tritt auch zuerst die gleiche Klasseneinteilung auf (vgl. 19).

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  45. Diss.-Verz. 57 = J. f. Math. Bd. 144 (1914) S. 114.

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  46. Math. Ann. Bd. 81 (1920) S. 235; Bd. 82 (1921) S. 120, 168. Wegen der weiteren Literatur zum Momentenproblem s. 41, wegen der Beziehungen zu Differentialgleichungen 19.

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  47. Math. Ann Bd. 86 (1922) S. 18. Die hier angewandte Methode entspricht der in 38.

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  48. Math. Ann. Bd. 102 (1930) S. 49; J. f. Math. Bd. 161 (1929) S. 208. Vgl. auch Mathem. Grundl. d. Quantenmechanik. Berlin 1932. - Die ersten Ansätze dieser Theorie hat v. Neumann im Anschluß an eine Hilbertsche Vorlesung über Quantenmechanik entwickelt, s. Nr. 21 im Verzeichnis c) und v. Neumann: Gött. Nachr. 1927 S. 1.

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  49. Etwa gleichzeitig hat A. Wintner: Math. Z. Bd. 30 (1929) S. 228 (vgl. auch sein Buch43) die Spektraltheorie der unitären Matrizen entwickelt.

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  50. Amer. Math. Soc. coll. public. Bd. 15. New York 1932. - Neuerdings hat F. Relltch (Math. Ann. Bd.110 (1935) 5.342) auch Operatoren in nichtseparablen Räumen untersucht, was die Einordnung der Eigenwertprobleme aus der Theorie der fastperiodischen Funktionen gestattet (vgl. 19, 55).

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  51. Vgl. im übrigen etwa die Angaben in Encykl. II C 13, Nr. 18, 19.

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  52. Gött. Nachr. 1907 S. 101; der Beweis benutzt einige einfache und seither oft angewendete Formalsätze des Matrizenkalkuls und die Jakobische Transformation endlicher quadratischer Formen.

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  53. Hilb: Sitzungsber. phys.-med. Soz. Erlangen Bd. 40 (1908) S. 84 durch eine sehr handliche Umformung der Entwicklung nach Iterierten. Friedrichs: Math. Ann. Bd. 109 (1933) S. 254 durch einen einfachen MinimumsschluB.

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  54. Palermo Rend. Bd. 25 (1908) S. 53.

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  55. Gott. Nachr. 1907 S. 110; 1910 S. 489; Math. Ann. Bd. 70 (1911) S. 351. Eine Ausdehnung auf zu fastperiodischen Funktionen gehörige Matrizen gibt A. Wintner: Math. Z. 30 (1929) S. 290. Alle diese Begriffe haben vielfache funktionentheoretische Anwendung gefunden.

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  56. Wintner, a. a. 0.49, Zusatz. v. Neumann: Math. Ann. Bd. 102 (1930) S. 370.

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  57. Schmeidler: J. f. Math. Bd. 163 (1930) S. 135. Wintner: Math. Z. Bd. 37 (1933) S. 254.

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  58. In dieser Richtung seien nur erwähnt: F. RIESZ: Équat. lin.41 und Acta math. Bd. 41 (1916) S. 71 sowie E. Herly: Mh. Math. Phys. Bd. 31 (1921) S. 60.

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  59. Hausdorff: J. f. Math. Bd. 167 (1932) S. 294. Banach: Monogr. matemat. I. Warszawa 1932.

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  60. J. f. Math. Bd. 171 (1934) S. 193.

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  61. Toeplitz: Palermo Rend. Bd. 28 (1909) S. 88. Koethe-Toeplitz: J. f. Math. Bd. 165 (1931) S. 116.

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  62. Stockholm Öfvers. Bd. 56 (1899) S. 395; Soc. math. France Bull. Bd. 27 (1899) S. 215.

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  63. Math. Ann Bd. 65 (1908) S. 370.

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  64. Bull. soc. math. France Bd. 22 (1894) S. 71 unter Benutzung eines Gedankens von E. Picard. - Die erste Veröffentlichung dieser Theorie bei CH. M. Mason: Diss.Verz. 26, 1903 = Math. Ann. Bd. 58 (1904) S. 528.

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  65. Math. Ann. Bd. 68 (1910) S. 279; Bd. 71 (1911) S. 214. Vgl. auch R. König: Diss.Verz. 40, 1907.

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  66. Math. Ann. Bd. 63 (1907) S. 477 und in weiteren Arbeiten von ihm und seinen Schülern; zusammenfassende Darstellung in A. Kneser: Integralgleichungen und ihre Anwendung. Braunschweig 1911 und 1922. Ein Haupthilfsmittel bilden die durch genauere Untersuchung des Verhaltens der Eigenfunktionen gewonnenen Entwicklungen der Ableitungen von G. - Auch die Verwendung anderer Kerne mit den gleichen Eigenfunktionen hat sich gelegentlich als zweckmäßig erwiesen; vgl. z. B. W. Lebedeff: Diss.-Verz. 35, 1906.

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  67. Vgl. z. B. W. D. A. Westfall: Diss.-Verz. 31, 1905. A. Miller: Diss.-Verz. 33, 1906.

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  68. Vgl. zu diesem Problem F. Klein: Math. Ann. Bd. 64 (1907) S. 175.

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  69. Potentialtheoretische Anwendungen bei E. Hilb: Math. Ann. Bd. 63 (1906) S. 38. - Vgl. ferner E. Picard: Ann. Ec. Norm. (3) Bd. 26 (1909) S. 9.

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  70. Palermo Rend. Bd. 27 (1909) S. 117 sowie die in 86 genannten Arbeiten. Für die weitere Literatur sei auf das Referat in Encykl. II C 12, Lichtenstein, Nr. 5 verwiesen, und von neueren Untersuchungen noch die Arbeiten von A. Hammerstein: Sitzungsber. preuB. Akad. 1925 S. 590 und Math. Z. Bd. 27 (1927) S. 269 über Summationsverfahren für die Eigenfunktionsreihen der Greenschen Funktion erwähnt.

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  71. Solche Probleme in einigen der in 75.78 genannten Arbeiten von H. Weyl und R. C Ourant; vgl. auch J Hadamard 86.

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  72. In Vorlesungen sowie einem Vortrag in der Göttinger Math. Gesellsch.; s. Jber. dtsch. Math.-Ver. Bd. 16 (1907) S. 77.

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  73. Weiteres über derartige Theoreme, insbesondere auch über die Oszillationseigenschaften der Eigenfunktionen bei R. G. D. Richardson: Math. Ann. Bd. 73 (1912) S. 289; Amer. Math. Soc. Trans. Bd. 13 (1912) S. 22; Amer. Math. Soc. Bull. (2) Bd. 18 (1912) S. 225.

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  74. Vgl. A. Sommerfeld: Physik. Z. Bd. 11 (1910) S. 1057. H. A. Lorentz: ibid. S. 1234.

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  75. Math. Ann Bd. 71 (1912) S. 441; J. f. Math. Bd. 141 (1912) S. 1, 163; Bd. 143 (1914) S. 177; Palermo Rend. Bd. 39 (1915) S. 1.

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  76. Math. Z. Bd. 7 (1920) S. 1; Bd. 15 (1922) S. 195; Gött. Nachr. 1923 S. 81; Acta math. Bd. 49 (1926) S. 1; Gesamtdarstellung in Courant-Hilbert: Method. d. math. Phys. I. Berlin 1924 und 1931. Für die Anwendung auf Existenzbeweise s. Math. Aim Bd. 85 (1922) S. 280.

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  77. Vgl. H. Geppert: Math. Ann Bd. 95 (1926) S. 519; Bd. 98 (1927) S. 264.

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  78. Palermo Rend. Bd. 38 (1914) S. 113; Math. Z. Bd. 3 (1920) S. 127; Prace mat.-fiz. Bd. 26 (1914) S. 219. Die gleiche Methode hat Lichtenstein auch auf allgemeinere Probleme der Variationsrechnung und andre nichtlineare Probleme angewandt, wobei der allgemeine Begriff der vollstetigen Funktionen (vgl. 13) zur Geltung kommt; s. etwa J. f. Math. Bd. 145 (1914) S. 24; Acta math. Bd. 40 (1915) S. 1.

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  79. Eine Anwendung auf simultane Differentialgleichungen (vgl. 16) bei H. Geiringer: Math. Z. Bd. 12 (1922) S. 1.

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  80. Math. Ann. Bd. 48 (1897) S. 365.

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  81. Math. Ann. Bd. 66 (1908) S. 1; vgl. auch 42.

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  82. Math. Ann Bd. 68 (1910) S. 220; Gött. Nachr. 1910 S. 442; vgl. auch 44. Eine Herleitung der gleichen Resultate ohne Integralgleichungstheorie durch komplexe Integration bei E. Hilb: Math. Ann Bd. 76 (1915) S. 333; vgl. dazu die Methode von Hellinger 38. Ausdehnung auf Differentialgleichungen 4. Ordnung bei W. Windau: Diss.-Verz. 62 = Math. Ann. Bd. 83 (1921) S. 256. - Die analoge Theorie für partielle Differentialgleichungen gibt T. Carleman: Ark. f. mat. 24 B (1934) Nr. 11. Anwendungen der Operatorentheorie auf Differentialgleichungen entwickeln M. H. Stone 50 und K. Friedrichs 43.

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  83. Stockholm Üfvers. Bd. 57 (1900) S. 39; ähnlich für Randwertaufgaben der Elastizitätstheorie: Ark. f. mat. Bd. 2 (1905) Nr. 28. Von den zahlreichen, die Ausdehnung der Methode auf verschiedene Typen von Randbedingungen und Randkurven behandelnden Arbeiten sei hier nur J. Plemelj: Mh. Math. Bd. 15 (1904) S. 337; Bd. 18 (1907) S. 180 und J. Radon: Wien. Ber. Bd. 128 IIa (1919) S. 1123 hervorgehoben; vgl. im übrigen Encykl. II C 3, Lichstenstein, bes. Nr. 17 d.

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  84. Palermo Rend. Bd. 24 (1907) S. 275.

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  85. Vgl. dazu O. D. Kellogg: Diss.-Verz. 24 und Math. Ann. Bd. 58 (1904) S. 441.

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  86. Haar: Gött. Nachr. 1907 S. 280. Hadamard: Mém. say. étrang. Paris (2) Bd. 33 (1908) Nr. 4; dieser behandelt auch die Eigenwerttheorie des Problems.

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  87. Vgl. z. B. W. A. Hurwrrz: Diss.-Verz. 50, 1910. H. Weyl und R. Couranth. L. Lichtenstein: Math. Z. Bd. 20 (1924) S. 21.

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  88. Vgl. auch die Ankündigung am Ende der 5. Mitteilung (Grundz. S. 212) und in einem Vortrag in der Gött. Math. Ges. [Jber. dtsch. Math.-Ver. Bd. 16 (1907) S. 78]. Verwandte Überlegungen finden sich in den Methoden von E. E. LEVI: Soc. Ital. Mem. (3) Bd. 16 (1909) S. 3 und L. Lichtenstein: Abh. Akad. Berlin 1911, Anh., VI.

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  89. Gött. Nachr. 1860 = Werke 2. Aufl., S. 170f.

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  90. Auf andere Fälle angewandt und näher untersucht worden ist die ParametrixMethode von O. HAUPT: Sitzungsber. Heidelberg 1920 A, 16; Math. Ann Bd. 88 (1922) S. 136.

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  91. Grundz. S. 212; vgl. dazu M. Mathisson: Math. Ann Bd. 107 (1933) S.400. — Daß Randwertaufgaben hyperbolischer und parabolischer Differentialgleichungen von vielen Autoren unter Benutzung ihrer Grundlösungen oder Greenschen Funktionen auf Integralgleichungen zurückgeführt worden sind, kann hier nur erwähnt werden; vgl. etwa die Darstellung von W. STERNBERG in Pascals Repert. 2. Aufl. Bd. I 3, Kap. XXII.

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  92. Math. Z. Bd. 12 (1922) S. 274. Vgl. auch seine Untersuchungen über den diese Integralgleichungen umfassenden allgemeinen Typus orthogonal-invarianter Integralgleichungen in Math. Ann. Bd. 78 (1918) S. 398.

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  93. Diss. Upsala 1917; Ark. f. mat. Bd. 16 (1921) Nr. 16. Für weitere Anwendungen vgl. die Dissertationen von H. Bolza 1913, B. Baule 1914, K. Schellenberg 1915 (Diss.-Verz. 56, 58, 59) sowie H. Bolza-M. Born-Th. v. Karman: Gött. Nachr. 1913, S. 221.

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  94. Gött. Nachr. 1912 S. 773 (Abh. 13 dieses Bandes). Wegen der bei der Aufstellung zugrunde zu legenden Axiome s. auch Abh. 14 und 15.

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  95. S. auch Hilberts Heidelberger Vortrag, Verh. d. 3. Math.-Kongr. (Leipzig 1905) S. 233, sowie Ch. Haseaian: Diss.-Verz. 38, 1907. Zum folgenden vgl. ferner E. E. Levi: Gött. Nachr. 1908 S. 249, sowie F. Noether: Math. Ann. Bd. 82 (1920) S. 42.

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  96. Mh. Math. Bd. 19 (1908) S. 205, 211. Vgl. auch die Anwendung der Methode auf weitere Differentialgleichungsprobleme bei G. D. Birkhoff: Math. Ann. Bd. 74 (1913) S. 122.

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  1. Ernst Hellinger
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Hellinger, E. (1935). Hilberts Arbeiten über Integralgleichungen und unendliche Gleichungssysteme. In: Dritter Band: Analysis · Grundlagen der Mathematik · Physik Verschiedenes. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38452-7_9

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