Zusammenfassung

In diesem Kapitel soll der Grundgedanke von Gaußens flächentheoretischen Untersuchungen auseinandergesetzt werden. Denkt man sich eine Fläche aus einem biegsamen, undehnbaren Stoff hergestellt, wie er etwa durch Papier verwirklicht wird, so läßt diese Fläche außer ihrer Beweglichkeit als starrer Körper im allgemeinen auch noch Formänderungen, sogenannte „Verbiegungen“ zu. Die Undehn-barkeit äußert sich dadurch, daß die Bogenlängen aller auf der Fläche gezogenen Kurven bei der Verbiegung ungeändert bleiben. Etwas allgemeiner bezeichnet man als „längentreue“ oder „isometrische Abbildung“ zweier Flächen aufeinander eine Transformation mit Erhaltung der Längen.

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Referenzen

  1. 1).
    H. Lebesgue: Paris C. R. 128, 1899, S. 1502–1505. Die Tangentenflächen der isotropen Kurven (§ 19) sind nicht „abwickelbar“.MATHGoogle Scholar
  2. 2).
    F. Minding: „Bemerkung über die Abwicklung ...“, Crelles Journal 6 (1830), S. 159; J. Liouville in Monges „Application ...“ (1850), S. 568 unten.CrossRefMATHGoogle Scholar
  3. 3).
    Das Wort „Linienelement“ oder „Bogenelement“ wird in zwei verschiedenen Bedeutungen gebraucht. Während sonst immer die erste Grundform der Flächentheorie darunter zu verstehen ist, ist hier ein Punkt mit hindurchgehender Richtung gemeint.Google Scholar
  4. 4).
    Die Bedingung des Einbettens ist nahe verwandt mit der sogenannten Bedingung Jacobis, auf die wir später (§ 83) zu sprechen kommen werden.Google Scholar
  5. 5).
    Auf die Frage, in welchem Umkreis um o diese geodätischen Polar koordinaten brauchbar sind, kommen wir später zu sprechen (§ 85).Google Scholar
  6. 6).
    Vgl. G. Monge: Application ..., 5. Aufl. 1850, 4. Note, S. 583–588.Google Scholar
  7. 6a).
    Diguet: Journal de Mathématiques (1) 13 (1848), S. 83–86.Google Scholar
  8. 7).
    Vgl. etwa G. Scheffers: Theorie der Flächen, 2. Aufl., Leipzig 1913, S. 139 ff., bzw. die Figur S. 141.MATHGoogle Scholar
  9. 8).
    H. Poincaré: Acta mathematica 1, 1882, S. 1–62.CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  10. 9).
    O. Bonnet: Journal de l’Ecole Polytechnique 19 (1848), S. 131.Google Scholar
  11. 10).
    E. Beltrami: Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea, 1868, Werke I, S. 374–405.Google Scholar
  12. 11).
    Trägt man Bedenken, die Formel (12) von § 22 hier anzuwenden, da sie nur für geradlinige Verrückungen abgeleitet wurde, so kann man die folgende Formel (104) etwa auch so finden, daß man von einer Parameter-darstellung der Fläche ausgeht.Google Scholar
  13. 12).
    Für den Fall der ebenen Geometrie ist das ja die bekannte Beziehung zwischen Evolute und Evolvente von § 18 (Fadenkonstruktion).Google Scholar
  14. 13).
    Nach G. Darboux stammen diese Sätze von Jacobi. Vgl. Darboux: Surfaces III, S. 87.Google Scholar
  15. 14).
    Vgl. H. Poincarê: American Transactions 6 (1905), S. 241.Google Scholar
  16. 15).
    E. Beltrami: Ricerche di analisi applicata alla geometria, Opere I, S. 107–198. Besonders Nr. XIV und XV.Google Scholar
  17. 16).
    G. Darboux: Théorie des surfaces, III. 1894, S. 151.Google Scholar
  18. 17).
    Die Bedingung reicht aber durchaus nicht hin. Trägt man z. B. auf den Tangenten einer Schraubenlinie gleiche Längen ab, so bilden die Endpunkte auf der Tangentenfläche einen offenen Krümmungskreis.Google Scholar
  19. 18).
    Die Entwicklungen dieses Abschnitts.; sind einer vom Verfasser veranlagten Arbeit von B. Baute entnommen, auf die später noch zurückgekommen werden soll: Über Kreise und Kugeln im Riemannschen Raum I, Math. Annalen 83 (1921), S. 286–310.Google Scholar
  20. 19).
    Wegen der Literatur über diesen Gegenstand vgl. man L. Lichtenstein: Zur Theorie der konformen Abbildung . . ., Bulletin de l’académie de Cracovie 1916. S. 192–217.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1924

Authors and Affiliations

  • Wilhelm Blaschke
    • 1
  • Kurt Reidemeister
    • 2
  1. 1.Universität HamburgDeutschland
  2. 2.Universität WienAustria

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