Zusammenfassung
Wenn ich über das Fortleben gewisser Methoden bei Archimedes sprechen will, muß ich natürlich über das Fortleben von Archimedes überhaupt zuerst ein paar Worte sagen. Da hat J. L. Heiberg der 2. Auflage seiner Archimedesausgabe im 3. Band (Leipzig 1915) eine 98 Seiten umfassende Vorrede beigegeben, die von der Verwandtschaft und den Schicksalen der von ihm benützten Handschriften handelt. Diese Vorrede ist stellenweise ganz dramatisch zu lesen. Ich entnehme ihr für den Augenblick nur das, was uns Kunde gibt von der Überlieferung des Archimedischen Gesamtwerks, so weit diese Überlieferung mit dem wirklichen Studium von Archimedes verknüpft ist.
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Referenzen
Vgl. Friedr. Fuchs, Die höheren Schulen von Konstantinopel im Mittelalter. Byzant. Archiv, Heft 8, Leipzig 1926, S. 17.
Siehe J. L. Heiberg und H. G. Zeuthen, Eine neue Schrift des Archimedes, Bibl. math. (3) 7, 1906/7, S. 321–363. - Archim. Op. 112, S. 425f.
Veröff. von H. Suter in Bibl. math. (3) 12, 1911/12, S. 289–332.
Nova Stereometria doliorum vinariorum, Linz 1615. Opera, ed. Gh. Frisch, Bd. IV. Deutsch in Ostwalds Klass. Nr. 165 (dort S. 34f.).
Veröff. in den „Exercitationes geometricae sex“ (Bologna 1647; Ex. IV, Prop. XXIV), vorher schon angekündigt in einem Nachwort zur „Centuria di varii problemi“ (Bologna 1639). Ungefähr gleichzeitig kam P. de Fermat zum nämlichen Resultat. Seine „Ad Bonaventurae Cavalerii quaestiones responsa” wurden aber erst in neuester Zeit veröffentlicht (Œuvres I, Paris 1891, S. 195–198; franz. Übers. Œuvres III, 1896, S. 169 — 171). Die Methode Fermais ist in dieser Notiz nicht angegeben. Vgl. „Un chapitre de l’œuvre de Cavalieri“ von H. Bosmans, Mathésis 36 (1922) S. 365–373, 446–456.
Vgl. H. Bosmans, Guillaume de Moerbeke et le Traité des corps flottants d’Archimède. Revue d. Quest. scient., avril 1922. S.-A. 23 S.
Opera, ed. Loria-Vassura, I, 1, Faenza 1919, S. IX/X.
Admirandi Archimedis Syracusani Monumenta omnia mathematica, quae exstant, ..., ex traditione doctissimi viri D. Francisci Maurolici Nobilis Siculi, Abbatis Sanctae Mariae a Partu. . . . Panormi, .. . MDC.LXXXV. (8) u. 296 S. fol.
Vorles. ü. Gesch. d. Math., II2, Leipzig 1900, S. 558.
A. G. Kästner hat in seiner „Geschichte der Mathematik”, II. Bd., Göttingen 1797, S. 64–74 eine ziemlich ausführliche Inhaltsangabe gemacht, aber von diesen wichtigen Zusätzen Maurolicos nichts erwähnt. Hingegen hat der immer selbständige H. G. Zeuthen auf den Kern der Sache kurz aufmerksam gemacht. S. u. die Fußnote 23.
Daß Archimedes in der verschollenen „Methodenlehre“ schon eine ganze Reihe von Körperschwerpunkten, freilich mit der nicht strengen Indivisibelnmethode, bestimmt hatte, konnte damals kein Mensch ahnen. Man konnte höchstens wissen, daß Archimedes den Schwerpunkt des Segmentes eines Rotationsparaboloides kannte, weil er ihn ohne Erläuterung im Buch II der „Schwimmenden Körper“ öfters benützt (Op. IP, S. 317ff., z. B. S. 350, wo Archimedes sogar auf sein Werk über die Schwerpunkte zurückverweist).
S. u. die Fußnote 34.
Es ist mir bekannt, daß Leonardo da Vinci den Satz vom Schwerpunkt der dreiseitigen Pyramide schon vielleicht ein halbes Jahrhundert vorher besaß (Ms. F, fol. 51, r, nach P. Duhem, Les Origines de la Statique, I. Bd., Paris 1905, S. 212/13). Aber selbst wenn Leonardo den Satz selbständig gefunden haben sollte, könnte von einer mathematischen Ableitung bei ihm keine Rede sein.
Die Lage des Kegelschwerpunktes wird von Archimedes in der Einleitung zur „Methodenlehre“ angegeben.
Die Schraffierung fehlt bei Maurolico.
Maurolico hat natürlich keinerlei algebraische Bezeichnung und drückt ganz wie Archimedes alles in Worten und mit den großen Buchstaben der Figur aus.
Das ist die Bezeichnung des Archimedes für „Rotationsparaboloid“.
Die Ausdrücke Abszissen und Ordinaten hat Maurolico natürlich nicht. Quellen u. Studien B I.
Archimedes hat in der „Methodenlehre“ auch den Schwerpunkt des Paraboloidsegmentes abgeleitet, aber auf eine ganz andere Art (Nr. V). Es ist sehr wahrscheinlich, daß Maurolieos Gedankengang durchaus selbständig ist.
Sicherlich in der von Maurolicoim Jahre 1558 zu Messina herausgegebenen Sammelausgabe mehrerer griechischer Sphäriken, deren (sehr langer) Titel beginnt: „Theodosii Sphaericorum Elementorum Libri III. Ex traditione Maurolyci Messanensis Mathematici. . .“ (Am Schluß) Messanae . . . M.D.LVIII. Dort ist schon auf Bl. (2) r° in dem umfangreichen „Index lucubrationum Maurolyci” angegebenen: „De momentis aequalibus libelli quatuor. In quorum postremo de centris Solidorum ab Archimede omissis agitur.” Am Schluß des Werkes bringt er eine nähere Inhaltsangabe seiner „Lucubrationen“, und da steht auf Bl. 71 (verdruckt in 68) v°, daß er u. a. den Schwerpunkt der Pyramide gefunden habe (mit dem Ergebnis) ; doch teilt er nichts über das Paraboloid mit.
Sur quelques exemples de la méthode des limites chez Simon Stevin. Ann. Soc. Scient. Brux. XXXVII, 2 (1912/13). S.-A. 33 S. Etwas kürzer „Le calcul infinitésimal chez Simon Stevin“. Mathésis37 (1923). S.-A. 18 S.
Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze. Leiden 1638. Giornata seconda. S. z. B. die deutsche Ausgabe in Ostwalds Klass. Nr. 11, S. 122.
Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert (Abh. z. Gesch. d. math. Wiss., Heft XVII). Leipzig 1903, S. 237/38. Dort stehen auch kurze Bemerkungen über die meisten anderen oben erwähnten Männer.
Über die Entstehung des Grenzbegriffs. Bibl. math. (3) 4 (1903) S. 246–259. — S. a. den Artikel von H. Bosnians, „Les Démonstrations par l’Analyse Infiniésimale chez Luc Valerio” Ann. Soc. scient. Bruxelles 37 (1912/13). S.-A. 22 S.
Hier kommt er dem Indivisibelbegriff Cavalieris recht nahe (s. Fußn. 38).
In der „Methodenlehre“ hat Archimedes sowohl den Schwerpunkt der Halbkugel (Nr. VI) wie den Schwerpunkt der Kugelsegmente (VIII u. IX) abgeleitet.
Der Schwerpunkt des Hyperboloidsegments ist in der „Methodenlehre“ des Archimedes nicht mehr enthalten.
Seit der Niederschrift dieses Satzes hat ein etwas eingehenderes Studium des Werkes durch Herrn Oskar Kraus ergeben, daß Valerio sehr häufig und in erweiterter Form die Idee des Maurolico, Schwerpunkte von Körpern auf die von Flächen zurückzuführen, benützt. Meine obige Bemerkung über das Manuskript Maurolicos hat also doch wohl mehr Grundlage, als ich ursprünglich dachte.
Die öfteren Wiederholungen in diesem Werk sind darauf zurückzuführen, daß bei Herstellung der ersten Auflage die einzelnen Bücher schon gedruckt wurden, während der Verfasser noch an der Fortsetzung arbeitete. Daher sind in der ersten Auflage die einzelnen Teile auch je für sich paginiert.
Das Gesetz vom freien Falle in der Scholastik, bei Descartes und Galilei. Zeitschr. math. nat. Unterr. 45 (1914) S. 208—228.
Le Traité „De Centro Gravitatis“ de Jean-Charles della Faille, S. J. Ann. Soc. scient. Bruxelles 38 (1914). S.-A. 63 S. — Eine kürzere Notiz (mit Bildnis) in Mathésis 41 (1927). S.-A. 11 S.
Siehe den Brief Torricellis an B. Cavalieri vom 7. April 1646. Opere di Evangelista Torricelli, ed. Loria-Vassura, Vol. III, Faenza 1919, S. 365 — 367. Vgl. dazu den Artikel „Le prime applicazioni del calcolo integrale alla determinazione del centro di gravita di figure geometriche“ von E. Bortolotti, Rend. R. Acc. Bologna (Sez. Fis.-Mat.), Anno acc. 1921/22. S.-A. 15 S. mit einer kleinen Ergänzung im Period. di mat. (4) 3 (1923) S. 429/30. Der Wortlaut ist bei Torricelli der folgende: „Centrum gravitatis ita secat axem sive diametrum tarn in planis, quam in solidis figuris, ut pars versus verticem sit ad reliquam ut sunt omnes ductus applicatarum in omnes diametri portiones versus verticem abscissas ad omnes ductus eorumdem applicatarum in reliquas diametri portiones.“
Œuvres, ed. Tannery-Henry, Bd. I, Paris 1891, S. 136–139, frz. in Bd. III, 1896, S. 124–126.
Brief an Brûlart de Saint Martin vom Jahre 1643. Œuvres, [Bd. V], Supplément aux Tomes I-IV, ed C. de Waard, Paris 1922, S. 120–125. Vgl. meinen Aufsatz „Bemerkungen zu Fermais Methode der Aufsuchung von Extremwerten und der Bestimmung von Kurventangenten“, Jahresber. Deutsch. Math.-Ver. 38 (1929) S. 24–35.
S. denselben Bd. V der Œuvres, S. 85. Eine größere Beispielsammlung zur Anwendung der Methode auf Schwerpunkte, die Fermat gemacht hatte, ist nicht auf uns gekommen.
Die Abhandlung ist gedruckt bei G. I. Gerhardt, Die Entdeckung der höheren Analysis, Halle 1855, S. 116–131. Jüngst hat erst wieder D. Mahnke in seiner großen Abh. „Neue Einblicke in die Entdeckungsgeschichte der höheren Analysis”, Abh. Ak. Wiss. Berlin (math. phys. Kl. 1925, Nr. 1, S. 61) darauf aufmerksam gemacht.
Bonaventura Gavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota. Bologna 1635.
Vgl. G. Waliner, Die Wandlungen des Indivisibilienbegriffs von Gavalieri bis Wallis. Bibl. math. (3) 4 (1903), S. 28 – 47.
Dazu die Werke: Kurd Laßwitz, Geschichte der Atomistik vom Mittelalter bis Newton, 2 Bde., Hamburg und Leipzig 1890 (Neudruck 1926);
Erich Frank, Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle 1923;
Julius Stenzel, Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles, Leipzig 1924.
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Wieleitner, H. (1930). Das Fortleben der Archimedischen Infinitesimalmethoden bis zum Beginn des 17. Jahrh., insbesondere über Schwerpunktbestimmungen. In: Neugebauer, O., Stenzel, J., Toeplitz, O. (eds) Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38293-6_6
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