Über die Grundlösung bei parabolischen Gleichungen

  • Erich Rothe

Zusammenfassung

Für die Gleichung
$$\Delta z - \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 0\quad \left( {\Delta z = \sum\limits_{{i = 1}}^{n} {\frac{{{\partial ^{2}}z}}{{\partial y_{i}^{2}}}}}\right)$$
(1)
ist, wie bekannt, die Funktion
$$\frac{1}{{{{(2\sqrt {\pi } )}^{n}}}}\frac{1}{{{{(\sqrt {{x - \xi }} )}^{n}}}}{e^{{ - \frac{{{r^{2}}}}{{4(x - \xi )}}}}}\quad \left( {{r^{2}} = \sum\limits_{{i = 1}}^{n} {{{({y_{i}} - {\eta _{i}})}^{2}};} {\kern 1pt} x\xi } \right) $$
(2)
eine Grundlösung. Unter Anwendung sukzessiver Approximationen bewies Gevrey die Existenz einer Grundlösung auch für die allgemeinere Gleichung
$$\Delta z - \frac{{\partial z}}{{\partial x}} + \sum\limits_{{v = 1}}^{n} {{a_{v}}} \frac{{\partial z}}{{\partial {y_{v}}}} + cz = 0) $$
(3)
indem er die Funktion (2) als erste Approximation benutzte1). Auf die Form (3) läßt sich, wenn n ≦ 2 ist, durch eine Transformation der Variablen diejenige Gleichung zurückführen, die aus (3) entsteht, wenn man an Stelle von Δ einen allgemeinen linearen elliptischen Differentialausdruck setzt und bei \(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\) noch einen Koeffizienten zuläßt2). Für n ≧ 3 ist das jedoch nicht mehr der Fall, da man dann einen elliptischen Ausdruck im allgemeinen nicht auf die Normalform transformieren kann.

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References

  1. 1).
    Gevrey, Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique, Journal d. Math., 6. sér., 9 (1913) und 10 (1914), § 75 f. Im Fall n = l hatte schon Hadamard (C. R. 1911) ebenfalls unter Anwendung sukzessiver Approximationen eine Grundlösung aufgestellt.Google Scholar
  2. 2).
    Gevrey, loc. cit. § 41.Google Scholar
  3. 3).
    Gl. (1) tritt bekanntlich bei der Behandlung der Wärmeleitung in homogenen isotropen Körpern auf; Gl. (4) entspricht der Wärmeleitung in anisotropen und inhomogenen Körpern.Google Scholar
  4. 7).
    Siehe etwa Goursat, Cours d’Analyse, t. III, 3. éd., p. 311, oder auch Gevrey, loc. cit. § 1 und § 35.Google Scholar
  5. 8).
    In gleichem Umfange, aber ohne Benutzung einer Grundlösung wurde die erste Bandwertaufgabe in einer demnächst in den Mathematischen Annalen erscheinenden Arbeit (E. Rothe, Über die Wärmeleitungsgleichung mit nicht konstanten Koeffizienten im dreidimensionalen Falle, 1. Mitteilung und 2. Mitteilung) behandelt. Für den Fall der Gl. (4) Vgl. auch A. Hammerstein, Über Entwicklungen gegebener Funktionen nach Eigenfunktionen von Randwertaufgaben, Math. Zeitschr. 27 (1927), S. 304ff.Google Scholar
  6. 9).
    Vgl. E. Rothe, Über die Approximation stetiger Funktionen durch Eigenfunktionen elliptischer Differentialgleichungen (Sitz.-Ber. d. Berl. Math. Ges. 28), wo ein Spezialfall des genannten Satzes bewiesen wurde.Google Scholar
  7. 10).
    Die Existenz solcher Greenschen Funktionen ist sichergestellt, da E. E. Levi (Rend. d. Pal. 24 (1907)) die Existenz einer Grundlösung und unter Benutzung der Levischen Grundlösung L. Lichtenstein und W. Sternberg gleichzeitig (Math. Zeitschr. 20 (1924), S. 198 und 21, S. 286) die Lösbarkeit der ersten Randwertaufgabe bewiesen haben. — Die Schlüsse von § 1 sind im wesentlichen die gleichen wie bei A. Hammerstein, loc.cit. S.305f.Google Scholar
  8. 12).
    Wegen des Beweises hierfür siehe S. 74 der in Anm. 9) zitierten Arbeit. Die folgenden Beweise des Textes (bis S. 498) beruhen im wesentlichen auf einer passenden Ausdehnung der in der genannten Arbeit angewandten Methode.Google Scholar
  9. 14).
    Wegen der Bedeutung der Bezeichnung T sowie der folgenden S, v und siehe S. 490.Google Scholar
  10. 15).
    § 5 und § 6 wurden bei der Korrektur hinzugefügt.Google Scholar
  11. 17).
    Siehe z. B. Goursat, Cours d’analyse t. 3. ch. XXIX.Google Scholar
  12. 18).
    Dies folgt sofort aus der Abschätzung (39) auf S. 497 im Verein mit dem Beweis auf S. 498.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1931

Authors and Affiliations

  • Erich Rothe
    • 1
  1. 1.BreslauPolen

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