Die konforme Abbildung

  • Adalbert Duschek

Zusammenfassung

Es sei w = f(z) eindeutig und regulär in einem Gebiet G der z-Ebene sowie C eine Kurve in G mit der Parameterdarstellung z = z(t) = x(t) + j y(t); dann ist, wenn wir Ableitungen nach t durch Punkte bezeichnen,
(1)
, wo s die von irgendeinem Anfangspunkt aus gezählte Bogenlänge von C und α der Winkel der Tangente von C mit der positiven x-Achse ist. Entsprechend ist
(2)
, wenn σ die Bogenlänge auf der Kurve C′, in die C bei der Abbildung übergeht und β der Winkel der Tangente von C′ mit der positiven u-Achse in der w-Ebene ist. Anderseits folgt aus der Parameterdarstellung w = f(z(t)) von C′
; der Vergleich mit (2) gibt, sofern f′(z) ≠ 0 ist im betrachteten Punkt von C
(3)
und
(4)
.

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Literatur

  1. 1.
    Ich habe in Band II a. a. O. gezeigt, daB das Doppelverhältnis eine Invariante der projektiven Transformationen (linear gebrochene Transformationen in zwei Veränderlichen) ist. Aber wenn man in (io) Reelles und Imaginäres trennt, so resultiert keine projektive,sondern eine Transformation, in der u und y rationale Funktionen von x und y mit quadratischen Zählern und demselben quadratischen Nenner sind.Google Scholar
  2. 1.
    Es ist sehr wichtig, sich dabei zweierlei vor Augen zu halten: Erstens, daß nicht die Zahlen w, sondern ihre Bildpunkte zweimal genommen werden, je einer in jedem Blatt. Man hat also gewissermaßen die Zweideutigkeit der Funktion z = yw in eine Zweideutigkeit der Zuordnung der Bildpunkte zu den komplexen Zahlen w verwandelt. Und zweitens, daß die beiden Blätter längs der Durchdringung ganz und gar nichts miteinander zu tun haben, und daß wir anscheinend nur durch das Gefängnis, in das uns unsere bloß dreidimensionale Anschauungswelt sperrt, gezwungen sind, diese Durchdringung überhaupt in Kauf zu nehmen. Auf eine Möglichkeit, sie doch zu vermeiden, komme ich gleich zu sprechen.Google Scholar
  3. 1.
    Verzichtet man darauf, daß zusammengehörige Punkte der Riemannschen Fläche übereinander liegen, so kann man die Kreuzung der beiden Blätter vermeiden, indem man etwa die innere Kugel an der Ebene spiegelt, in der der Verzweigungsschnitt liegt. Dann gehört zwar zu jedem Punkt des einen Blattes der spiegelbildlich gelegene Punkt des zweiten Blattes, aber die Durchdringung der beiden Blätter ist beseitigt; man hat eine doppelwandige Kugel mit einem schlitzartigen Loch, längs dem innere und äußere Wände zusammenhängen, also eine Art Thermosflasche.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Wien 1953

Authors and Affiliations

  • Adalbert Duschek
    • 1
  1. 1.Technischen Hochschule WienWienÖsterreich

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