Komplexe Zahlen und Punktmengen in der Ebene

Zusammenfassung

Was komplexe Zahlen sind und wie man mit ihnen rechnet, setze ich als bekannt voraus; um aber die folgenden Entwicklungen auf eine sichere Grundlage zu stellen, gebe ich zunächst einen kurzen Überblick über ihre Definition und wichtigsten Eigenschaften. Die komplexen Zahlen¹ lassen sich rein arithmetisch einführen als geordnete Paare reeller Zahlen (x, y). Erklärt man die Gleichheit zweier solcher Zahlenpaare

$$\left( {x,y} \right) = \left( {x',y'} \right)$$

(1)

durch x = x′ und y = y′, die Addition durch

$$\left( {x,y} \right) + \left( {x',y'} \right) = \left( {x + x',y + y'} \right)$$

(2)

und schließlich die Multiplikation durch

$$\left( {x,y} \right).\left( {x',y'} \right) = \left( {xx' - yy',xy' + yx'} \right)$$

(3)

, so sind in diesen drei Definitionen alle Eigenschaften der komplexen Zahlen enthalten. Man kann ohne Schwierigkeiten zeigen (und ich empfehle Ihnen, die einfache Rechnung durchzuführen), daß Summe und Produkt von Zahlenpaaren dem kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetz genügen. Man kann weiter durch die Gleichungen

$$\left( {{x_1},{y_1}} \right) + \left( {x,y} \right) = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$$

(4)

,

$$\left( {{x_1},{y_1}} \right) + \left( {x',y'} \right) = \left( {{x_2},{y_2}} \right)$$

(5)

bei gegebenen (x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂) und gesuchten (x, y), (x′, y′) die inversen Rechenoperationen der Subtraktion und Division (wenn x ²₁ + y ²₁ ≠ 0 ist) einführen; aus (4) folgt wegen (2) und (1)

$$x = {x_2} - {x_1},y = {y_2} - {y_1}$$

und aus (5) wegen (3) und (1) zunächst

$${x_1}x' - {y_1}y' = {x_2},{x_1}y' + {y_1}x' = {y_2}$$

.