Variationsprobleme mit Nebenbedingungen

Zusammenfassung

Man versteht darunter nicht nur das Beispiel 4 von § 15, 1, das man als isoperimetrisches Problem im engeren Sinn bezeichnet, sondern allgemeiner folgende Aufgabe: Es soll das Integral

$$J = \int\limits_\alpha ^\beta {f\left( {x,y;\dot x,\dot y} \right)} dt$$

(1)

stationär werden, wobei gleichzeitig ein zweites Integral (Nebenbedingung)

$$k = \int\limits_\alpha ^\beta {g\left( {x,y;\dot x,\dot y} \right)} dt$$

(2)

einen gegebenen festen Wert l annimmt. Ich beschränke mich auf ebene Probleme. Die Funktionen f und g seien, wie üblich, in einem gewissen Bereich der Ebene zweimal stetig differenzierbar; x = x(t), y = y(t) sei eine Lösung, die den Randbedingungen

$$x\left( \alpha \right) = {x_1},y\left( \alpha \right) = {y_1},x\left( \beta \right) = {x_2},y\left( \beta \right) = {y_2}$$

(3)

genügt. Ich setze die Vergleichskurven als zweiparametrige Kurvenschar¹

$$\bar x\left( t \right) = x\left( t \right) + \varepsilon u\left( t \right),\bar y\left( t \right) = y\left( t \right) + \eta y\left( t \right)$$

(4)

an, die in [α, β] stetig differenzierbare und bis auf die Randbedingungen

$$u\left( \alpha \right) = u\left( \beta \right) = v\left( \alpha \right) = v\left( \beta \right) = 0$$

(5)

völlig willkürliche Funktionen sind. (1) und (2) geht dann über in die gewöhnliche Extremumaufgabe

$$J\left( {\varepsilon ,\eta } \right) = \int\limits_\alpha ^\beta {f\left( {\bar x,\bar y;\dot \bar x,\dot \bar y} \right)} dt = Extr.$$

(6)