Zusammenfassung
Anschließend an 4. und 5. betrachten wir einen ganz abgeschlossenen Integritätsbereich ℑ mit dem Quotientenkörper 𝕶 und stellen uns die Aufgabe, die Teilbarkeitstheorie der Elemente von 𝕶 hinsichtlich ℑ zu entwickeln. Für einen Z.P.I.-Ring ℑ wird diese Aufgabe nach 4. und 5. durch die Dedekindsche Idealtheorie gelöst. Wir suchen aber nach einer Methode, die auch auf allgemeinere Ringe angewandt werden kann, z. B. auf die Polynomringe und endlichen Integritätsbereiche, womögüch sogar auf alle ganz abgeschlossenen Integritätsbereiche. Eine solche Methode liefert die Bewertungstheorie, die nicht auf Dedekind zurückgeht, sondern auf Hensel und seine p-adischen Zahlen — also wiederum auf eine spezielle Behandlungsweise der endlichen algebraischen Zahlkörper.
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Referenzen
In van der Waerden [15] wird zwischen „ganz“ und „vollständig ganz“ abgeschlossen nicht unterschieden. Die allgemeinen Untersuchungen von § 103 gelten nur für solche Integritätsbereiche, die in unserm Sinne „vollständig ganz“ abgeschlossen sind.
„Hauptordnung“ bedeutet bei Dedekind bekanntlich den Ring aller ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers. Das Wort erschien mir daher empfehlenswert zur Bezeichnung eines arithmetisch ausgezeichneten Integritätsbereichs.
Definition der symbolischen Potenz in 15.!
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Krull, W. (1948). Bewertungstheorie. In: Idealtheorie. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete, vol 4, 3. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-38075-8_5
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