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Abstrakte additive Idealtheorie

  • W. Krull
Part of the Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete book series (MATHE1, volume 4, 3)

Zusammenfassung

In 3. wurden im Anschluß an die Theorie der O-Ringe die einfachsten Grundlagen der additiven Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingung besprochen. Die damaligen Ergebnisse können charakterisiert werden durch die Schlagworte „minimales Primoberideal“, „Radikal“, „isolierte Primärkomponente“. Das Haupthilfsmittel bei den Beweisen bildete der Begriff des m.a. (multiplikativ abgeschlossenen) Elementsystems. Die m.a. Systeme ermöglichten insbesondere den Existenzbeweis für die isolierten Primärkomponenten. Die Verallgemeinerung der damaligen Überlegungen führt zu folgender von van der Waerden ([6] § 2) stammenden Definition:
  • Ist S irgendein m.a. System aus dem Ringe ℜ, so soll unter dem (durch S erzeugten) „isolierten Komponentenideal“ (in Zukunft kurz „i.K.I.“) von 𝔞 das Ideal 𝔞 S aller der Ringelemente verstanden werden, die durch Multiplikation mit geeigneten Faktoren aus S in Elemente von 𝔞 verwandelt werden können. — Besteht insbesondere S = ℜ - 𝔭 aus der Menge aller der Elemente, die nicht zu einem gewissen Primideal 𝔭 gehören, so wird statt 𝔞ℜ-𝔭 auch kurz 𝔞𝔭 geschrieben.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1948

Authors and Affiliations

  • W. Krull

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