Grundbegriffe der Integral- und Differentialrechnung

  • R. Courant

Zusammenfassung

Unter den Grenzwertbildungen der Analysis spielen zwei eine besonders wichtige Rolle, nicht nur weil sie immer wieder in den verschiedensten Zusammenhängen auftreten, sondern vor allem weil sie miteinander in einer engen Wechselbeziehung stehen. Diese beiden Grenzwertbildungen, das Integral und der Differentialquotient, wurden an Hand vereinzelter Beispiele schon seit langer Zeit, z. T. sogar schon im klassischen Altertum betrachtet ; aber erst die Tatsache, daß man ihren engen gegenseitigen Zusammenhang erkannte und sie, gestützt darauf, zur Grundlage ganz neuer methodischer Rechenverfahren machte, bildet den Beginn der eigentlichen systematischen Integral- und Differentialrechnung. Das Verdienst, diese Entwicklung angebahnt zu haben, gebührt gleichmäßig den zwei großen Geistern des 17. Jahrhunderts Newton und Leibniz, die, wie man heute weiß, ihre Entdeckungen unabhängig voneinander machten. Wenn vielleicht Newton in seinen Untersuchungen zu größerer begrifflicher Klarheit durchdrang, so haben sich doch die Leibnizschen Bezeichnungen und Rechenmethoden in höherem Grade durchgesetzt als die Newtonschen; noch heute bilden diese formalen Seiten der Leibnizschen Gedankenentwicklung ein unentbehrliches Element in der Theorie.

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Referenzen

  1. 1).
    Man kann natürlich den Flächeninhaltsbegriff auch rein geometrisch definieren und dann die Äquivalenz einer solchen geometrischen Definition mit der obigen Grenzwertdefinition beweisen. Vgl. fünftes Kap. § 2, Nr. 1.Google Scholar
  2. 1).
    Über den durch beliebige geschlossene Kurven begrenzten Flächeninhalt vgl. fünftes Kap. § 2.Google Scholar
  3. 1).
    Ich überlasse es Ihnen als eine nützliche Übungsaufgabe, sich in den nachfolgenden Beispielen selbst davon zu überzeugen, daß tatsächlich bei Benutzung von Obersummen und Untersummen derselbe Grenzwert entsteht.Google Scholar
  4. 1).
    Beispiele für Fälle, wo die Voraussetzung nicht erfüllt ist, werde ich später geben (vgl. Nr. 5).Google Scholar
  5. 1).
    Ich möchte nicht einen Hinweis darauf unterlassen, daß die Darstellbarkeit des zweiten Differentialquotienten als Grenzwert des oben hingeschriebenen zweiten Differenzenquotienten eines Beweises bedarf. Denn wir haben vorher die zweite Ableitung nicht auf diese Weise definiert, sondern als Grenzwert des ersten Differenzenquotienten der ersten Ableitung. Den Nachweis, daß beide Definitionen bei stetiger zweiter Ableitung äquivalent sind, kann ich hier um so eher übergehen, als er sich später im sechsten Kapitel, von selbst ergeben und im übrigen für uns keine Bedeutung gewinnen wird.Google Scholar
  6. 1).
    Diese stellt übrigens, wie Sie leicht selbst überlegen können, bis auf einen von x unabhängigen Faktor den Abstand des Kurvenpunktes von der Sekante dar.Google Scholar
  7. 1).
    Vergleiche hierzu übrigens auch die späteren Betrachtungen. S. 102.Google Scholar
  8. 1).
    Vgl. hierzu Anm. 1 auf S. 36.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1927

Authors and Affiliations

  • R. Courant
    • 1
  1. 1.Universität GöttingenDeutschland

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