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Die Darstellung einer willkürlichen Funktion auf der Kugel nach Kugelfunktionen 1. Art

  • R. Egersdörfer
  • L. Egersdörfer
Part of the Wissenschaftliche Abhandlungen book series (Wiss. Abh.)

Zusammenfassung

Die Formel für die Entwicklung einer willkürlichen Funktion f (t, w) nach den gewöhnlichen und zugeordneten Kugelfunktionen 1. Art lautet:
$$I.\;f(t,w) = \sum\limits_0^\infty {n\;{a_n}{P_n}} (cos\;t) + \sum\limits_0^\infty n \;\sum\limits_0^n j \;{a_n}^j\;\cos \;(nw){P_n}^j(\cos \;t) + {b_n}^j\;\sin \;(nw)\;{P_n}^j(\cos \;t),$$
wobei gilt:
$$\begin{gathered} II._{{b_n}^j}^{{a_n}^j} = \frac{{(2n + 1)(n - 1)!}}{{2\pi (n + j)!}}\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi {f(t\prime ,w\prime ){P_n}^j} } \;(\cos \;t\prime )\;\sin \;t\prime _{\sin \;(nw\prime )}^{\cos \;(nw\prime )}\;dt\prime \;dw\prime \;und\;{a_n} = {\raise0.7ex\hbox{$1$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{$2$}}{a_n}^0; \hfill \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad mit\;j = 0,1,2,3,....n \hfill \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad und\;n = 0,1,2,3,....\infty \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} $$

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1936

Authors and Affiliations

  • R. Egersdörfer
  • L. Egersdörfer

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